Ho capito l'errore dov'era! In ogni caso, metto la soluzione in spoiler così chi volesse può tentare di risolvere l'esercizio/trovare l'errore nel mio ragionamento precedente da solo.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Non avevo pensato a sufficienza a quel valore assoluto sotto radice...
Dalla traccia discende che, se $x: I \rightarrow J$ (dove $J \subseteq (x_-,x_+)$ e quest'ultima è la componente connessa alla quale appartiene $x(0)=-1$ nella quale $2\sqrt{|x|}$ non si annulla) è una soluzione, allora dev'essere:
\[
\frac{x'(t)}{2\sqrt{|x(t)|}}=1
\Rightarrow
\int_0^t \frac{x'(s)}{2\sqrt{|x(s)|}} ds = t
\Rightarrow
\int_{-1}^{x(t)} \frac{dy}{2\sqrt{|y|}} = \int_{-1}^{x(t)} \frac{dy}{2\sqrt{-y}} = (-\sqrt{-y}) \, \big|_{-1}^{x(t)} = \\
-\sqrt{|y|} \, \big|_{-1}^{x(t)} = t
\]
e non $\sqrt{|y|} |_{-1}^{x(t)} $ , come avevo scritto io prima! Da ciò deriva che:
\[
\sqrt{|-1|} - \sqrt{|x(t)|} = t
\,\, \Rightarrow \,\,
\sqrt{|x(t)|} = 1 - t \,\,\, \text{( possibile solo se } t \le 1)
\,\, \Rightarrow \\
\Rightarrow \,\, x(t) = - (1-t)^2 \, \text{ dato che } x(t)<0
\]
Anche la faccenda degli integrali impropri va al suo posto e, infatti, questi due mi escono proprio $-\infty$ e $1$. Quindi la risposta alla prima domanda è $1$
Alla seconda domanda invece ho ancora da lavorare. Intanto mi piacerebbe sapere voi cosa pensate del tutto.