Esercizio funzioni continue

Se f è continua in [0,1] e f(0)f(1)<0 allora esiste ed è unico c appartenente a [0,1] tale che f(c)=0

La risposta credo sia falsa in quanto il teorema degli zeri non ci assicura l'unicità di uno zero della funzione.Il problema è che devo mostrare un controesempio e non mi viene in mente nessuna funzione da mostrare.Come posso fare?

L'affermazione è sicuramente falsa, come hai detto. Come controesempio potrebbe bastare una semplice rappresentazione grafica?

Non lo so,il mio professore è un molto severo su queste cose,nel senso che una risposta data senza un'argomentazione sufficiente per lui è come una risposta sbagliata,quindi non saprei.E' l'unico modo quello grafico?

Ad esempio:
\[
f(x) = \begin{cases}
x-1/3, &\text{se}\ 0\leq x < 1/3,\\
0, &\text{se}\ 1/3 \leq x \leq 2/3,\\
x-2/3, &\text{se}\ 2/3 < x \leq 1.
\end{cases}
\]
Se non ti piacciono le funzioni definite a tratti, puoi prendere ad esempio
\[
f(x) = \cos(3\pi x), \qquad x\in [0,1].
\]

Chiarissimo,mille grazie

Scusa Rigel ma mi è venuto un dubbio sulla soluzione da te proposta.Come mai la prima fuzione che mi hai mostrato come esempio è continua mentre ad esempio questa f(x):{1 se x appartiene [a,b],2 se x appartiene a (b,c]} non lo è?

Scusa Rigel ma mi è venuto un dubbio sulla soluzione da te proposta.Come mai la prima fuzione che mi hai mostrato come esempio è continua mentre ad esempio questa f(x):{1 se x appartiene [a,b],2 se x appartiene a (b,c]} non lo è?

Perché il limite destro e sinistro in ogni punto della funzione coincidono, cosa che non accade nella tua.

Chiarissimo grazie