Integrazione

f è integrabile in [a,b] $ rArr $ |f| è integrabile in [a,b]

Come posso dimostrare o confutare questa affermazione?

Ciao, ti do un avvio di ragionamento:

$f$ può essere continua o discontinua in $[a, b]$.

Se è continua in $[a, b]$, allora anche $|f|$ è continua in $[a, b]$, e quindi $|f|$ è integrabile in $[a, b]$ (tutte le funzioni continue sono integrabili).

Considera quindi il caso in cui $f$ sia discontinua in $[a, b]$.

Per la condizione di integrabilità, può avere solo un numero finito (o al più numerabile) di discontinuità di prima e terza specie¹.

Pensa ora a come un valore assoluto possa agire sulle discontinuità di prima e di terza specie e trovi la soluzione .

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Note

1. Se ha discontinuità di seconda specie $f$ non è integrabile, in quanto non limitata, e quindi questo caso va scartato ↑