Dubbio su una serie

Salve, ho un problemino con questa serie.
\(\displaystyle \sum ^{\infty }_{n=0}\left( -1\right) ^{n}\dfrac {e^{n}}{e^{2n}+1} \)
Utilizzando il criterio di leibniz secondo il quale una serie se è:
1)positiva : lo è perchè l'esponenzale è sempre positiva
2)decrescente : facend la devita prima è decrescente nell'intervallo ]0, infinito[
3) il limite di an è 0.
Questa serie converge. Ma utilizzand il criterio asintotico e ponendo e^x=t, arrivo a farla tendere a 1/t. La quale chiaramente è una serie armonica generalizzata con esponente =1 , perciò diverge .
Facendo il rapporto tra an e bn(1/t), questi risulta 1. Allora per il criterio asintotico la serie an diverge.
Vi sarei molto grato se riuscite a trovare il/i mio/miei errori (:
Grazie dell'attenzione (:

Quando fai la sostituzione e dici che è asintotica a $1/t$, ti dimentichi che $1/t$ diverge, ma qua abbiamo $(-1)^n*(1/t)$

Salve, ho un problemino con questa serie.
Ma utilizzand il criterio asintotico ....

il criterio del rapporto asintotico si applica a serie a termini positivi, e non a serie a segno alterno....avresti dovuto considerere, per applicare il confronto asintotico il modulo del termine generale, ossia
\[\left|(-1)^n\frac{e^n}{e^{2n}+1}\right|= \frac{e^n}{e^{2n}+1} \sim\frac{1}{e^n}\to\mbox{converge assolutamente, quindi semplicemente.}\]