Analisi Complessa-dubbio su integrale-

Buongiorno,

studiando gli appunti del corso di Metodi Matematici della Fisica mi sono imbattuta nel seguente esempio:

Dimostrare che $ | int_C f(z)dz | <= (pi*R)/(R^2-a^2) (con R>a) $

dove C è l'insieme formato da una semicirconferenza di raggio R di cui si esclude la parte sull'asse reale da $0$ a $pi$ ed

$f(z)=1/(z^2+a^2)$ con $a in RR$

Non ho avuto problemi nel dimostrare che $|f(z)|<= 1/(R^2-a^2) $ ma, nello svolgere i conti, per dimostrare in definitiva quanto ho scritto sopra, mi trovo alle prese con il seguente integrale:

$ int_0^pi (iRe^(itheta)/(R^2-a^2) d(theta) $ che a me esce $0$... Al professore risulta invece (e così la dimostrazione si conclude) $(pi*R)/(R^2-a^2)$

il mio timore è principalmente quello di commettere, senza che me ne stia rendendo conto, un errore concettuale...

Grazie per la pazienza

$ int_0^pi (iRe^(itheta)/(R^2-a^2) d(theta) $ che a me esce $0$... Al professore risulta invece (e così la dimostrazione si conclude) $(pi*R)/(R^2-a^2)$.

Ciao, non ho capito com'è definita la curva $C$: è una semicirconferenza nel semipiano superiore di centro $0$ e raggio $R$?

In ogni caso il tuo integrale risulta:
$$\int_0^\pi \frac{iRe^{i\theta}}{R^2-a^2}\,\mathrm d\theta=\frac{iR}{R^2-a^2}\int_0^\pi e^{i\theta}\,\mathrm d\theta=\frac R{R^2-a^2}[e^{i\pi}-e^0]=-\frac{2R}{R^2-a^2}.$$

Comunque la stima di cui parli si ottiene da:
$$\left|\int_C f(z)\mathrm dz\right|\leq \pi R \sup_C |f|\leq\frac{\pi R}{R^2-a^2}.$$

Riguardo l'integrale: avevo fatto confusione.

Riguardo alla stima: avevo dimenticato il lemma di Darboux.

Grazie mille

Giulia