Integrale doppio con cambio di variabili

Ho difficoltà nell'impostare il dominio di integrazione di questo integrale
$ int int_(D) |x+y|e^(x-y)dx dy $
Dove $ D $ è il tringolo di vertici $ O(0,0), A(1,1), B(1,-2) $

Ecco come procedo:
Il dominio sarà $ D={(x,y) in R^2 : 0<=x<=1, -2x<=y<=x} $

Ho effettuato poi il seguente cambio di variabili:

$ { ( u=x-y ),( v=x+y ):} $

Andando a ricavarmi x e y da queste e andandoli a sostituire nel dominio D non ottengo un dominio D' in u,v "valido"... C'è qualcosa che mi sfugge?

Io avrei ragionato in questo modo:

$ intint_D |x+y|e^(x-y) ={ ( intint_(D_1) (x+y)e^(x-y) ;x> -y ),( intint_(D_2) (-x-y)e^(x-y) ;x< -y ):} $

Con $D_1={0<=x<=1,-x<=y<=0}$ e $D_2{0<=x<=1,-2x<=y<=-x}$.

In pratica il triangolo è tagliato dalla retta $x=-y$; i punti del dominio sopra di essa rientrano in $D_1$, quelli sotto in $D_2$.

Così facendo vengono integrali semplici da calcolare senza alcuna sostituzione.

Chiedo conferma della correttezza del mio ragionamento a qualcuno più esperto, dato che anche io sto affrontando adesso questo tipo di esercizi.

@MDD
La soluzione proposta va bene, con la sola correzione del primo sottodominio: $D_1={0<=x<=1; -x<=y<=x}$.

@MDD
La soluzione proposta va bene, con la sola correzione del primo sottodominio: $D_1={0<=x<=1; -x<=y<=x}$.

Ho disegnato male un punto perché ho scritto $A(1,0)$ invece di $A(1,1)$, quindi il mio triangolo aveva per base il tratto di asse x compreso tra 0 e 1.

Grazie per la correzione

Grazie per le risposte. Alla fine l'ho risolto sia con le coordinate cartesiane x,y che quelle u,v... Con il cambio di variabili comunque ci sono meno conti da fare, quindi sicuramente preferibile...

Per scrivere il dominio nelle coordinate u,v ho poi pensato che anzichè "tradurre" il dominio scritto da me in quello nuovo, potevo direttamente ottenere il dominio trasformando i punti dati tramite le equazioni della trasformazione.

Andando quindi a sostituire i vecchi punti nel sistema otterremmo i punti nel sistema di coordinate u,v:

$ O=' (0,0) $, $ A'(0,2) $, $ B'(3,-1) $

Disegnando tali punti nel piano u,v è possibile ricavare a "colpo d'occhio":

$ D'={(u,v)inR^2 : 0<=u<=3, -1/3u<=v<=-u+2} $

A questo punto l'integrale diventa:

$ 1/2 int int _(D') |v|e^udu dv $ dove $ 1/2 $ è lo jacobiano della trasformazione.

A questo punto per toglierci il problema del modulo possiamo spezzare il dominio in due parti, una che rappresenta la parte in cui v è positivo e una in cui v è negativo, ottenendo

$ 1/2 [int int _(D'_1) ve^udu dv - int int _(D'_2) ve^udu dv] $

Dove

$ D'_1={(u,v)inR^2 : 0<=u<=2, 0<=v<=-u+2} $,

$ D'_2={(u,v)inR^2 : -3v<=u<=2-v, -1<=v<=0} $