Dubbio su dominio naturale

Ho questo quesito:
'Il dominio naturale di $ f(x)=sqrt(sin(x)) $ è:'
e devo scegliere tra 3 risposte. La risposta giusta non è detto che sia una sola come non è detto che ci sia una risposta esatta
Le risposte sono:
1) Chiuso e limitato
2) Finito
3) Unione di intervalli

Di seguito il mio ragionamento
- Pongo l'argomento della radice >= 0, ossia $ sin(x)>=0 $
- $ sin(x)>=0 $ si verifica quando $ 0<=x<=pi $
- Quindi ho l'intervallo $ [0,pi] $
Ne segue che ho un dominio chiuso e limitato, dove verifico il 'limitato' prendendo maggiorante=estremo superiore=$pi$ e minorante= estremo inferiore= $0$

E questo era il ragionamento iniziale, poi però ho pensato che essendo limitato è finito e inoltre l'intervallo $ [0,pi] $ può essere scritto come $ [0,pi/2]uu [pi/2,pi] $, e quindi unione di intervalli...

Non so più come uscirne illuminatemi

Per dominio naturale si dovrebbe intendere ogni valore $x$ in $RR$ per il quale ha senso $f(x)$.

Ora, alla luce di questo, la tua soluzione è $0<=x<= \pi (mod 2k\pi)$, con $k$ che varia in $ZZ$.
In questo modo ottieni che il dominio è unione di intervalli disgiunti.

grazie per essere passato, ma onestamente ancora non ho capito il perché
abbiamo appena iniziato questa parte delle funzioni e alcune cose mi sono ancora poco chiare...

Ti hanno insegnato che sin(x) è una funzione periodica, di periodo $2\pi$?

Se $sin(x)$ assume un certo valore in $x$, quello stesso valore lo assumerà anche in $sin(x+2\pi)$, in $sin(x+2\pi+2\pi)$, ecc...
Ora, la tua funzione assume valori non negativi in $0<=x<=\pi$. Gli stessi valori non negativi li assumerà se sommi, quante volte vuoi, $2\pi$ alle $x$ che rendono sin(x) non negativa. E quindi ottieni che $sin(x)$ è non negativa in:

$0<=x<=\pi$
$2\pi<=x<=3\pi$
ecc...

Si potrebbe risolvere l'esercizio anche in altro modo, facendo nessun calcolo. Considera il grafico di $sin(x)$. Ad intervalli alterni $sin(x)$ è positiva oppure negativa, perciò $\sqrt(sin(x))$ è definita solo negli intervalli in cui $sin(x)$ è non negativa, e questi intervalli non sono un insieme chiuso e limitato, ma intervalli disgiunti.

ok, ora ho capito, grazie