28/03/2015, 20:36
29/03/2015, 12:40
TeM ha scritto:Dunque, vediamo un po'...
1. \( \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{e\,\left(e^{x-1} - 1\right)}{x\,(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{e}{x} \; \cdot \; \lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1} - 1}{x - 1} = e\,\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = e \; ; \end{aligned} \)
2. \( \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \arcsin\left(x\,\sin\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin\left(x\,\sin\frac{1}{x}\right)}{x\,\sin\frac{1}{x}} \; \cdot \; \lim_{x \to 0} x\,\sin\frac{1}{x} = 1\,\lim_{x \to 0} x\,\sin\frac{1}{x} = 0 \; ; \end{aligned} \)
3. \( \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{(1 + \sin x)^3 - 1} & = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{x} \; \cdot \; \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1 + \sin x)^3 - 1} \\ & = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{(1 + \sin x)^3 - 1} \\ & = \frac{1}{3}\cdot 1 \lim_{t \to 0} \frac{t}{(1 + t)^3 - 1} \\ & = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \\ & = \frac{1}{9} \; . \end{aligned} \)
Spero sia sufficientemente chiaro.
29/03/2015, 12:47
TeM ha scritto:Jt1995 ha scritto:Nel secondo limite qual è il passaggio finale in $x sin(1/x)$ ?
Per \(x \to 0\) il primo fattore tende a \(0\) mentre il secondo a "qualcosa"
compreso tra \(-1\) e \(+1\); globalmente, quindi, il limite porta a \(0\).
29/03/2015, 13:16
TeM ha scritto:Jt1995 ha scritto:Se avessi avuto solo $sin(1/x)$, non è possibile calcolare limite o sbaglio?
Non sbagli. Più precisamente, per il teorema di unicità del limite, \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} \; \Rightarrow \; \not\exists \end{aligned}\) in quanto è sufficiente
considerare due distinte successioni e ottenere due risultati differenti (in disaccordo con detto teorema).Jt1995 ha scritto:Per $ x->0 1/x $ vale infinito giusto?
No. Infatti, sempre per il sopracitato teorema, \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \; \Rightarrow \; \not\exists \end{aligned}\); se ti "avvicini" a \(0\) da sinistra ottieni \(-\infty\), mentre
se ti "avvicini" a \(0\) da destra ottieni \(+\infty\). Per tal motivo, occorre declinare i seguenti due casi: \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\end{aligned}\) e \(\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\end{aligned}\).
Ok?
29/03/2015, 14:12
TeM ha scritto:Jt1995 ha scritto:e quindi moltiplicare 0 per in $sin(1/x)$,valore "non esistente", da 0?
Un conto è considerare \(\begin{aligned}\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} \end{aligned}\) che per il teorema di unicità del limite è dimostrabile non esistere, un altro conto è considerare \(\begin{aligned}\lim_{x \to 0} x\,\sin\frac{1}{x} \end{aligned}\) che porta banalmente a \(0\) in quanto, a prescindere dal fatto che il secondo fattore "fluttui" nell'intervallo \([-1,\,1]\), il primo fa sì che il limite porti sempre a \(0\) (in accordo con detto teorema).
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