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Sia data la serie $\sum_(k=0)^(+oo)a_k$ con $a_k>0 \forall x>=0$. Si supponga che esista, finito o infinito il limite $lim_(k->oo)\frac{a_(k+1)}{a_k}=l$. Allora se $l<1$ $a_k$ converge, se $l>1$ $a_k$ diverge.
dimostrazione:
Sia $l$ finito. Si ha che $\forall \epsilon>0 \exists k_\epsilon>=0$ tale che:
$\forall k>k_\epsilon=>|\frac{a_(k+1)}{k}-l|<\epsilon$ ossia $l-\epsilon<\frac{a_(k+1)}{k}<l+\epsilon$.
Supponiamo dapprima $l<1$. Scelto $\epsilon=\frac{1-l}{2}$ poniamo $q=\frac{1+l}{2}$ e osserviamo che
$0<\frac{a_(k+1)}{a_k}<l+\epsilon=q$, $\forall k>k_\epsilon$.
Pertanto, reiterando, si ha: $a_(k+1)<qa_k<q^2a_(k-1)<...<q^(k-k_\epsilon)a_(k_(\epsilon)+1)$ e quindi.
$a_(k+1)<\frac{a_(k_(\epsilon)+1)}{q^(k_\epsilon)}q^k,\forall k>k_\epsilon$
Concludiamo usando il teorema del confronto e il fatto che la serie geometrica di ragione $q<1$ converge.
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