Esercizio svolto sulla regola della catena

Regola della catena
Sul libro di Analisi Matematica 1 (Zanichelli) vi è lo svolgimento del calcolo della derivata di
$ g(t) = Ae^(-alphat) cos (wt+phi)$
Credo di aver capito tutti i passaggi dell’ esercizio , tranne l’ultimo.
Se non erro :
$ g'(t) = A d/dt [e^(-alphat) cos (wt+phi)]$
In cui è stata applicata la formula $ (k*f)’ = k*f’ $ con k costante
$ = A [d/dt e^(-alphat) cos (wt+phi) + e^(-alphat) d/dt cos (wt+phi)]$
In cui è stata applicata la formula del prodotto $(f*g)’ = f’*g + f*g’$ e poi
$ = A [ e^(-alphat) (-alpha) cos (wt+phi) + e^(-alphat) (-sin (wt+phi)*w)]$
In cui è stata applicate la regola della catena $ (g° f)’ (x)= g’(f(x))*f’(x) $ poiché la derivata di $e^(-alphat) $ è $ -alpha e^(-alphat) $ con $ (-alpha) $ derivata dell’argomento e la derivata di $cos (wt+phi)]$ è $ (-sin (wt+phi)*w)]$ con $w$ derivata del suo argomento. Poi si giunge a :
$ = -Ae^(-alphat) [-alpha cos (wt+phi) + sin (wt+phi)]$
Quest'ultimo passaggio non mi è chiaro.
Vi chiedo un aiuto . Grazie in anticipo.

Mi verrebbe da dire che ha fatto una messa in evidenza, ma in ogni caso la $w$ dopo il seno non penso possa sparire...sicuro di aver copiato bene o che non sia un errore del libro?

ciao

ho anche io qualche dubbio che sia giusto

a me la derivata viene

$-Ae^(-alpha t) ( alpha cos (wt+phi ) + w sin (wt+phi))$

Ho ricontrollato, ma sul testo è scritto cosi. Anche a me la derivata viene $ = -Ae^(-alphat) [alpha cos (wt+phi) + wsin(wt+phi)]$
come scritto anche da Summerwind78. Grazie per le risposte.