dubbio su limite

Non riesco a capire perché $lim_(n->infty)root(n)(-a)=1$ con $ain$ $N $ ed $lim_(n->infty)root (n)(-n)=1$
Potreste darmi cortesemente qualche delucidazione;
Saluti!

Ciao


la dimostrazione è molto semplice


$lim_(n->oo) root(n)(-a) = lim_(n->oo) (-a^(1/n)) = -a^(1/oo) = -a^0 = 1$


per quanto riguarda il secondo limite, è un pochino più complesso ma ci si arriva

$lim_(n->oo) root(n)(-n) = lim_(n->oo) (-n)^(1/n) = lim_(n->oo) e^(ln(-n)^(1/n)) = lim_(n->oo) e^(1/n ln(-n)) =e^( lim_(n->oo) (1/n ln(-n))) = e^( lim_(n->oo) (ln(-n)/n))$

quindi non ti resta che risolvere il limite $lim_(n->oo) (ln(-n)/n)$

inizialmente come vedi è una forma indeterminata del tipo $oo/oo$

ma siccome sia la funzione $ln(-x)$ che la funzione $x$ sono entrambe continue e derivabili nel loro dominio, puoi utilizza del'Hopital quindi ottieni

$lim_(n->oo) (ln(-n)/n) = lim_(n->oo) ((-1/n)/1) = lim_(n->oo) (-1/n) = -1/oo=0$

pertanto, ricapitolando:

$lim_(n->oo) root(n)(-n) = e^( lim_(n->oo) (ln(-n)/n)) = e^0 = 1$


spero di esserti stato di aiuto

Ciao

Intanto grazie per la risposta, il tuo ragionamento e' giusto,però nel caso avessimo $logn$, qui abbiamo $log (-n) $,ed il logaritmo di un numero negativo non esiste, per esempio $lim_(x->0^+)xlogx=0$,ma $lim_(x->0^-)xlogx$ ha senso? $logx$ non e definita per valori di $x <=0$, mi sbaglio ?

In effetti mi hai fatto venire qualche dubbio,

ci ragiono su un momento e ti dico

Mi pare che $root (n)(-n)$ per $n-> +infty$ non esista.

Vero ho detto una boiata io!

il ragionamento che ho fatto nel mio post precedente vale se hai $sqrt(n)$ e non se hai $sqrt(-n)$

Il mio appunto era sulla domanda di francicko.
Come si può chiedere quanto fa una cosa che non esiste?

Il mio appunto era sulla domanda di francicko.
Come si può chiedere quanto fa una cosa che non esiste?

Ho posto la domanda, perché il risolutore automatico wolfram alpha continuava a darmi come risultato $1$, fornendo anche uno sviluppo in serie, e non capivo il perché , probabilmente non
prende in considerazione la parte immaginaria $i$