Integrale su tutta la retta

Salve ragazzi ho un dubbio semplice di definizione. Qual è la differenza tra fare l'integrale di una funzione da $ -\infty $ a $ +\infty $ e invece fare:
$ lim_(a -> \infty) int_(-a)^(\a) f(x) dx $
? Io in genere uso la seconda come definizione della prima per funzioni "regolari", però a volte cedo che il professore li usa indicando cose diverse,che a volte possono non essere uguali.

Con funzioni regolari intendi Riemann integrabili? La seconda infatti ci dice che se quel limite esiste finito e $f$ è Riemann integrabile su ogni $(a,b) sub RR$ allora è Riemann integrabile in senso generalizzato (in un intervallo illimitato in questo caso).