chiarimento logaritmo con numero di nepero

Giusto un dettaglio: per $n=2$ è falsa, perché $log2<1$.

Ti ringrazio per avermelo fatto notare, ma comunque la disuguaglianza scritta fra le serie è vera: infatti con un calcolo approssimato si può verificare che la serie al primo membro ha somma inferiore a quella della serie al secondo membro.

Dopo l'applicazione del limite notevole, come si ottiene $1/2 n$?

Non $1/2 n $, ma $1/(2n) $, che è ciò che si ottiene moltiplicando $1/2 $ per $1/n$ che compare al denominatore del limite.

$1/2 $ non è per limite che tende a zero? Perchè poi si "passa" a $\lim_{n \to +\infty}$?

Beh, se $x := 1/n $ per $n \to +\infty $ si ha $x \to 0 $