Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
30/06/2016, 15:53
Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano per lo studio della convergenza puntuale e uniforme di questa funzione : $f_n(x)=(sqrt(x)-x^(n+2))/x^n$
Ho problemi soprattutto per lo studio della convergenza uniforme.
Mi aiutereste col procedimento ?
Grazie in anticipo.
30/06/2016, 16:53
Cosa hai provato?
30/06/2016, 17:32
L'ho studiata nel suo dominio e ho convergenza puntuale a $f(x)=-x^2$ in $ x>1$, da qui ho problemi a calcolare il SUP
30/06/2016, 22:59
Si ha:
\[
f_n(x) = \frac{1}{x^{\frac{2n-1}{2}}} - x^2
\]
dunque \(f_n\) converge in \([1,+\infty[\) verso la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} -x^2 &\text{, se } x>1 \\ 0 &\text{, se } x=1\; .\end{cases}
\]
Dato che le $f_n$ sono continue in \([1,+\infty[\) e che la funzione limite $f$ non lo è, la convergenza non può essere uniforme in \([1,+\infty[\).
30/06/2016, 23:15
Neanche se considero intervalli del tipo $ [a;+oo) $ con $ a>1 $ quindi ?
30/06/2016, 23:30
Forse lì sì.
Infatti, si ha:
\[
|f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{x^\frac{2n-1}{2}}\; ,
\]
dunque la funzione "scarto" $|f_n - f|$ è monotona decrescente e prende massimo assoluto in $x=a$, tale massimo essendo \(\frac{1}{a^\frac{2n-1}{2}}\).
Pertanto, dato che $a>1$, si ha:
\[
\max_{x\geq a} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{a^\frac{2n-1}{2}}\to 0
\]
e perciò la convergenza è uniforme in \([a,+\infty[\).
01/07/2016, 09:12
Ok grazie mille, gentilissimo
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