studio di una curva. orientazione-circuitazione-calcolo area

Salve a tutti. Ho bisogno nuovamente del vostro aiuto:
ho la curva $ gamma (t)=(1+cost,tsint), tin [0,2Pi ] $
parte dell'esercizio mi chiede di orientare la curva nel verso delle t crescenti, calcolare la circuitazione del campo vettoriale F(x,y)=(x,y) attorno a $ gamma $ . Ho provato con la formula classica della circuitazione ma ottengo un integrale assurdo. Credo si possa applicare il teo del rotore ma non riesco a capire come fare.
inoltre mi chiede di calcorare l'area del dominio racchiuso da $ gamma $
Vi ringrazio come sempre del vostro aiuto.

L'integrale in questione è questo?
$\int_(0)^(2\pi)F(x(t),y(t))\cdot\gamma'(t)dt=\int_(0)^(2\pi)(1+cost,tsint)\cdot(-sint,sint+tcost)dt=$
$=\int_(0)^(2\pi)-sint-sintcost+tsin^2t+t^2sintcostdt$
Sei arrivato a questo punto per poi bloccarti?

Si. Credo di poterlo risolvere ma il procedimento potrebbe essere lungo. Per questo mi chiedevo se potevo usare il Teo del rotore.

Ti conviene vederlo come $\int_0^{2pi} (1+\cos t)(-\sin t)dt+\int_0^{2pi} t \sin t(\sin t+t \cos t)dt$ : noti qualcosa..?

L'integrale può essere breve-breve se osservi bene la formulazione data da spugna
Ovviamente sfruttando il rotore diventa ancora più semplice: che cosa osservi se calcoli $\nabla\timesvec(F)$? Ti ricordo che vale:
$\int_(\partialS)\vec(F)\cdotd\vec(l)=\int_S(\nabla\times\vec(F))\cdotd\vec(\sigma)$

innanzitutto grazie per l'aiuto. ho calcolato l'integrale dopo la dritta di spugna e mi viene nullo. così come calcolando \( \nabla \wedge \overrightarrow{F} \) ottengo 0. se il risultato non fosse 0, come avrei dovuto procedere? come trovo \( d\sigma \) ? ma prima di tutto come oriento la curva nel verso delle t crescenti?