Parametrizzazione dominio

Buongiorno a tutti, sono alle prese con un integrale curvilineo. E' tra i primi che faccio e ho qualche problema nella parametrizzazione. Questo è l'esercizio:

Calcolare l'integrale curvilineo \(\displaystyle \int_\gamma \frac{x}{x-y+2} ds\), dove \(\displaystyle \gamma=Fr E \) essendo \(\displaystyle E= { (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x\geq 0, 0\leq y \leq x, x^2+y^2\leq 4 } \)

Questo è il dominio



Non ho problemi a parametrizzare \(\displaystyle \gamma_2 \) e \(\displaystyle \gamma_3 \), utilizzo infatti le parametrizzazioni del segmento di estremi (0,0) e (2,0) (per \(\displaystyle \gamma_2 \)) e della circonferenza di centro 0 e raggio 2 (per \(\displaystyle \gamma_3 \)). Per quanto riguarda \(\displaystyle \gamma_1 \) come posso risolvere? Perchè ho solo il punto di partenza del segmento, non quello esatto di arrivo.

Grazie anticipatamente per l'aiuto

ho solo il punto di partenza del segmento, non quello esatto di arrivo.

Sì che ce l'hai:

\(0\leq y \leq x\)

ho solo il punto di partenza del segmento, non quello esatto di arrivo.

Sì che ce l'hai:

\(0\leq y \leq x\)

Potrebbe essere\(\displaystyle x=t, y=t \) con \(\displaystyle \ t\in [0,x] \). E' possibile? L'intervallo non mi convince molto

L'intervallo non può dipendere da \(x\)! Guarda che il punto di intersezione tra la circonferenza e la retta lo puoi trovare analiticamente, non è così difficile.

L'intervallo non può dipendere da \(x\)! Guarda che il punto di intersezione tra la circonferenza e la retta lo puoi trovare analiticamente, non è così difficile.

Hai ragione, ho detto una super cavolata!

Provo a ricavare il punto impostando il seguente sistema:

\(\displaystyle \{y=x,
y^2+x^2=4 \)

Risolvendo ottengo i due punti di intersezione \(\displaystyle (-√2,-√2) \) e \(\displaystyle (√2,√2) \). Ovviamente quello relativo al mio dominio sarà \(\displaystyle (√2,√2) \), per cui \(\displaystyle t\in[0,√2] \). Giusto così?

Sì, ma attento al verso di percorrenza dei lati.

Sì, ma attento al verso di percorrenza dei lati.

So che devo valutare le curve in senso orario...comunque provo a svolgerlo e ti mando la soluzione. Grazie per la dritta!

Ecco la risoluzione finale:

Intanto parametrizzo le 3 curve

\(\displaystyle ^- \gamma_1 = \begin{cases}
x=t \\ y=t

\end{cases} t=[0,√2]\)

\(\displaystyle \gamma_2 = \begin{cases}
x=2t \\ y=0

\end{cases} t=[0,1]\)

\(\displaystyle \gamma_3 = \begin{cases}
x=2cos(t) \\ y=2sin(t)

\end{cases} t=[0,\frac{\pi}{4}]\)

Quindi

\(\displaystyle \int_\gamma \frac{x}{x-y+2} ds = \int_{0}^{1} \frac{2t}{2t+2} dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2cos(t)}{2cos(t)-2sin(t)+2}dt - \int_{0}^{√2} \frac{t}{2}dt \)

Risolvo separatamente i 3 integrali. Ottengo il seguente risultato \(\displaystyle 1-ln(2)+\frac{\pi}{8}-ln(cos(\frac{\pi}{8})-\frac{1}{2}=0.278 \)

E' corretto lo svolgimento?

Ho dimenticato di sottolineare che ho considerato le 3 curve percorse in senso antiorario, per questo il - davanti a \(\displaystyle \gamma_1 \)

Non ho letto con troppa attenzione ma mi sembra corretto