Limite con parametro

Salve avrei bisogno di aiuto con questo limite :

$ lim_(x ->+oo ) (sqrt(x+2)- Ksqrt(x+3)+ln (1+x^2))/(root(3)x-ln x) $

Al variare del parametro reale K

nota che:

$ln(1+x^2)=o(sqrt(x+2))$ per $x->+infty$

$sqrt(x+3)=sqrt(x+2)+o(sqrt(x+2))$ per $x->+infty$

$lnx=o(root(3)(x))$ per $x->+infty$

Dunque il limite $lim_(x->+infty)(sqrt(x+2)-ksqrt(x+2)+o(sqrt(x+2)))/(root(3)(x)+o(root(3)(x)))$

ovvero $lim_(x->+infty)((1-k)sqrt(x+2))/root(3)(x)$

Se $k=1$ allora il limite fa $0$
se $k>1$ allora si ottiene $1-k<0$ il che dona $-infty$
Se $k<1$ allora si ottiene $1-k>0$ il che dona $+infty$

Questo perché $lim_(x->+infty)sqrt(x+2)/(root(3)(x))=+infty$

Per le prossime volte abbozza almeno un'idea.