integrale doppio

ciao… non riesco a svolgere questo integrale
$ int int_(D)^() xy dx dy $
dove D= ((x,y) in R^2 | x^2+ y^2 <= 4 , 3y<=x^2 , x>=0)
un volta fatto il dominio, è la parte di piano compresa tra l'area del cerchio, la parabola e anche lo spicchio di area del cerchio in basso a destra?
lo sto svolgendo normale rispetto a x però il risultato mio è -13/8 mentre in realtà è -7/4
mi fate vedere il vostro svolgimento e anche come dividete i vari domini normali?
io ho provato a dividere tra 0 e rad3 ,tra rad3 e 2 e poi per lo spicchio sotto tra 0 e 2
grazie mille

Che ne dici se lo sposto in Analisi matematica? Mi pare un esercizio un po' troppo difficile per gli studenti di scuola media.

Giustissimo! Grazie

Anche a me viene $-\frac{13}{8}$, sia in coordinate cartesiane che in coordinate polari; non sono un esperto ma il fatto che venga lo stesso in due modi fa sperare che sia corretto.
Magari aspetta pareri più esperti del mio, intanto prova a farlo in coordinate polari spezzando l'insieme di integrazione nel quarto di circonferenza (per intenderci nella zona $x \geq 0$ e $y \leq 0$) e tra la parabola, il quarto di circonferenza nel primo quadrante e l'asse $x$, che è pur sempre un esercizio.

Lo stesso integrale voi come lo fareste in coordinate polari? Non riesco a ritrovarmi con l'angolo .. Grazie

Anche a me risulta $-13/8$

Non riesco a ritrovarmi con l'angolo .. Grazie

Io per semplicità ho spezzato l'insieme di integrazione in due insiemi e ho sommato gli integrali sui due insiemi.
Il primo insieme è il quarto di circonferenza centrata nell'origine di raggio $2$ nel quarto quadrante, ossia $D_1 := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \leq 0}$
Il secondo è l'intersezione tra il quarto di circonferenza centrata nell'origine di raggio $2$ e la parabola nel primo quadrante data da
$D_2 := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x^2+y^2 \leq 4, 3y \leq x^2, x \geq 0, y \geq 0}$
Perciò l'integrale diventa
$$\iint_D xy \text{d}x \text{d}y=\iint_{D_1} xy \text{d}x \text{d}y+\iint_{D_2} xy \text{d}x \text{d}y$$
L'integrale su $D_1$ si risolve facilmente in coordinate polari e non penso tu abbia problemi a farlo.
Per l'integrale su $D_2$ hai varie limitazioni sull'angolo $\theta$, ovvero: $x \geq 0$ si trasforma in $\rho cos \theta \geq 0$, quindi deve essere $\cos \theta \geq 0$.
$y \geq 0$ si trasforma in $\rho \sin \theta \geq 0$ e perciò deve essere $\sin \theta \geq 0$.
Inoltre $3y \leq x^2$ si trasforma in $3 \rho \sin \theta \leq \rho^2 \cos^2 \theta$, puoi semplificare $\rho$ in quanto è non negativo e dunque rimane invariato l'ordine; arrivi quindi a $3 \cos \theta \leq \rho \cos^2 \theta$ e dunque hai $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq \rho$.
$x^2 +y^2 \leq 4$ si trasforma in $\rho^2 \leq 4$; perciò facendo i conti hai queste limitazioni su $\rho$
$$\ 3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq \rho \leq 2$$.
Come vedi però c'è una limitazione ulteriore su $\theta$: infatti da $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq \rho \leq 2$ deve anche risultare $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq 2$.
Risolvi $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq 2$, intersecala con $\cos \theta \geq 0$ e $\sin \theta \geq 0$ e troverai l'intervallo in cui varia $\theta$.