11/02/2024, 14:03
Stai confondendo cosa significa dimostrare che vale la definizione di limite con cosa significa invece che essa è vera per ipotesi.
l'antecedente è tutta la definizione di limite che si assume vera per ipotesi
[...]
non devi seguire quel tipo di struttura logica su ε ma devi seguirla solo su ε′ perché è solo quest'ultimo quello che hai prefissato prima e per il quale vuoi trovare in in corrispondenza un δ′. Poi, dall'ipotesi sai che puoi usare la definizione di limite con kε per ogni ε>0; quindi, relativamente a tale definizione, non devi prefissare nulla e trovare nulla in corrispondenza. Tu ora sai che la definizione con kε è vera, quindi sai che hai libertà su quel quantificatore universale e da ciò dedurre (stavolta prefissando ε′>0 che vale la definizione con ε′: se torni su alla mia prima risposta, vedi che faccio esattamente questo.
2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ della proposizione, essa cosa dice? ci dice che se trovo f(x) anche oltre l'epsilon iniziale mi va comunque bene e rispetta l'implicazione a patto che sia "non oltre" $k epsilon$ in valori. (sono in una situazione del genere:)Testo nascosto, fai click qui per vederlo
oss: è scelta molto patologica per riuscire ad avere intorni comodi con proiezioni ma è pur sempre una funzione
E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla
11/02/2024, 14:21
gandolfo_m ha scritto:
2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ della proposizione, essa cosa dice? ci dice che se trovo f(x) anche oltre l'epsilon iniziale mi va comunque bene e rispetta l'implicazione a patto che sia "non oltre" $k epsilon$ in valori. (sono in una situazione del genere:)Testo nascosto, fai click qui per vederlo
oss: è scelta molto patologica per riuscire ad avere intorni comodi con proiezioni ma è pur sempre una funzione
E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla
11/02/2024, 15:09
11/02/2024, 19:16
gandolfo_m ha scritto:Riassumendo tutto questo in poche parole forse piu chiare...
Analizzando:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
mi sembra proprio dire: fissa epsilon, trovi delta, riporti la x dentro al controllo con delta in f(x) e confronti con $|f(x) - l|$ con $k*\varepsilon $, funziona? sì: bene quel grafico disegnato rende vera questa proposizione. stop.
(per inciso questa lettura è la stessa che sfrutto per leggere la proposizione 1), ho applicato lo stesso "metodo")
Fin qui abbiamo che il grafico disegnato rende vera la definizione 2)
Passo successivo: detto ciò, avendo dimostrato (come hai fatto tu nel tuo post iniziale) che se questa proposizione è vera => è vera anche quella di limite (e viceversa, ripeto era un se e solo se), allora dovrebbe essere identica ad essa; quindi se il grafico disegnato rispetta la 2) e considero in aggiunta il fatto che ho dimostrato che 1) <=> 2) allora concludo che tale grafico deve per forza di cose rispettare anche la lettura geometrica della proposizione 1). Ma se noti $|f(x) - l|>epsilon$. problema! non rispetta la 1), no?
11/02/2024, 21:05
gandolfo_m ha scritto:(copio incollo, fortuna avevo lasciato la pagina aperta con la modifica o mi sarei sparato XD)
Uhm sai che forse ho capito ora che mi ci fai riflettere meglio, vediamo se mi dai conferma ma mi sa che mi ero incartato in una cavolata nel ragionamento che facevo qui[\quote]gandolfo_m ha scritto:
1) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
2) $\forall \sigma > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\sigma $
Il problema di questo ragionamento che avevo svolto è che in effetti, scelto il sigma (cambio nome perché confonde meno sull'esposizione usare sigma e epsilon distinti) avevo ragione sul fatto che graficamente la 2) (si legga quote in che modo) non rispetta la definizione 1) ma con un caveat, ossia non rispetta la 1) senza andare ad usare il per ogni epsilon, io infatti usavo sbagliando lo stesso $epsilon=sigma$ (e qui era il mio errore). mentre dato che ho "per ogni" nella 1) succede quanto segue:
parto dalla 2) imposto il mio sigma nella 2) trovo il $delta_(ksigma)$ come in figura per cui vale il fatto che $|f(x)-l|$ stia nel relativo intorno di raggio $ksigma$, proprio per via del per ogni $epsilon$ in 1) posso qui riadattarlo e assumo $epsilon=ksigma$ e in questo epsilon riadattato in effetti rientra il valore di f(x).
il confronto errato tra 1) e 2) sorgeva proprio in questo punto: prendevo la definizione 1) moncata del "per ogni" e quindi non sfruttavo l'epsilon riadattato come $epsilon=k sigma$.
12/02/2024, 10:40
Eh si, e soprattutto non sfruttavo il "per ogni" della prima definizione. Quindi mi limitavo solo a dire non funziona per $sigma=epsilon$, ma proprio in forza al per ogni potevo ri-settarlo per mostrare che funzionava.Tu, quando andavi a prendere la 'fascia' nel caso kε la prendevi 'troppo stretta', prendevi solo ε, non il σ=kε.
12/02/2024, 10:51
gandolfo_m ha scritto: Mi sento più leggero
gandolfo_m ha scritto: Per quanto riguarda il tuo grafico, esatto è un altro esempio carino del mostrare che sfruttare i delta proiettati dagli epsilon scelti sulle ordinate non è sempre sensato. E' intuitivo ma non "correttissimo", dato che il delta puoi sceglierlo tu, basta che esista. Sempre se ho ben capito il tuo spunto .
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