Dubbi integrale multiplo

@curioso54: Sbagli a risolvere le disequazioni. Osserva che, tenendo conto che \(r>0\), si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [r^2 \le r^2+z^2<4] \implies [r^2<4] \implies [0 < r < 2]
\]E si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [z^2<r^2+z^2<4] \implies [z^2<4] \iff [ \ |z| < 2 \ ]
\]Per determinare l'intervallo in cui varia \(z\), distinguiamo due casi su \(r\). Se \(0<r<1\), allora \(1-r^2>0\) e pertanto:\[
[1<r^2+z^2<4] \iff [1-r^2<z^2<4-r^2] \iff \left[\sqrt{1-r^2}<|z|<\sqrt{4-r^2}\right]
\]
Se invece \(1<r<2\), allora \(4-r^2>0\) e \(1-r^2<0\). Da quest'ultima, segue che \(z^2>1-r^2\) è vera per ogni \(z \in \mathbb{R}\) e quindi in questo caso si ha:\[
\left[1-r^2<z^2<4-r^2\right] \iff \left[z^2<4-r^2\right] \iff \left[ \ |z| < \sqrt{4-r^2} \right]
\]Ora, osserva che la funzione integranda e \(T\) sono pari in \(z\) (ossia, scambiando \(z\) con \(-z\) rimangono invariati sia funzione integranda sia insieme di integrazione), quindi l'integrale in esame è pari al doppio dell'integrale calcolato aggiungendo a \(T\) la condizione \(z>0\). Ma, con tale condizione aggiuntiva, è \(|z|=z\) e perciò le limitazioni su \(z\) sono \(\sqrt{1-r^2}<z<\sqrt{4-r^2}\) o \(0<z<\sqrt{4-r^2}\) per \(0<r<1\) o \(1<r<2\) rispettivamente.

Perciò, si ha:\[
\iiint_T \text{d}x\text{d}y\text{d}z=2 \cdot 2\pi \left[\int_0^1 \left(\int_{\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r+\int_1^2 \left(\int_0^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r\right]=\frac{28}{3}\pi
\]
In sostanza, il tuo errore è stato quello di trascurare delle condizioni aggiuntive su \(r\): hai dato per scontato che le condizioni di realtà delle radici fossero gli unici vincoli sull'intervallo in cui varia \(r\), ma ciò non è così (come puoi vedere nel passaggio "\(r^2<r^2+z^2<4\) implica \(0<r<2\)"). Per alcuni valori di \(0<r<2\), le limitazioni su \(z\) cambiano in accordo a quello che ho scritto su. In particolare, per alcuni valori ammissibili di \(r\) hai addirittura che \(1-r^2<0\) e quindi non puoi assolutamente estrarne la radice in questo contesto di analisi reale.

Se proprio non vuoi usare la parità su \(z\), basta ragionare similmente ma trovandosi in quell'inferno di casi che escono fuori dovendo considerare tutte le casistiche date dal valore assoluto su \(z\). Francamente, è un approccio decisamente masochista .

Grazie per la spiegazione, ma non ho ben capito come tiri fuori le due condizioni inerenti il raggio, il secondo passaggio. Ho ben tenuto conto della positività del raggio e del jacobiano (ci faccio sempre attenzione).

Non sapevo fosse vietato postare immagini, l'ho fatto perché non sono molto familiare con LaTex.

Lo immaginavo, per questo ti ho scritto il codice per scrivere l'insieme $T$...

Il mio obiettivo qui è di arrivare al risultato utilizzando le cilindriche e capire dove sbaglio nei procedimenti.

Hai compreso bene quanto

non capisco perché fai la somma di quei due integrali: per trovare il volume dell'anello io farei la differenza dei volumi delle due sfere, non la somma

Generalizzando ed insistendo ad usare le coordinate cilindriche, cosa che fra l'altro io non farei perché è del tutto evidente che qui siano molto più convenienti le coordinate sferiche, farei così:

$V_{\text{anello}}(R_1, R_2) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{R_1}[\int_{-\sqrt{R_1^2 - \rho^2 }}^{\sqrt{R_1^2 - \rho^2}} \text{d}z] \rho \text{d}\rho - \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{R_2}[\int_{-\sqrt{R_2^2 - \rho^2}}^{\sqrt{R_2^2 - \rho^2}} \text{d}z] \rho \text{d}\rho = $

$ = (4\pi)/3 R_1^3 - (4\pi)/3 R_2^3 = (4\pi)/3 (R_1^3 - R_2^3) $

Ovviamente nel caso particolare $R_1 = 2 $ e $R_2 = 1 $ si ha:

$V_{\text{anello}}(2, 1) = (4\pi)/3 (2^3 - 1^3) = (4\pi)/3 (8 - 1) = (28\pi)/3 $

Invece con le coordinate sferiche:

$V_{\text{anello}}(R_1, R_2) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{\pi} sin\varphi \text{d}\varphi \int_{R_2}^{R_1} \rho^2 \text{d}\rho = (4\pi)/3 (R_1^3 - R_2^3) $

So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo

Prego! Scusami, ma non mi è molto chiaro che intendi con "secondo passaggio". Per capirci meglio, ti conviene citare la parte del mio messaggio a cui ti stai riferendo (puoi farlo esattamente come hai fatto ora in quest'ultima risposta, usando il pulsante "Cita" presente in alto a destra sul messaggio interessato): ti compariranno le due stringhe di testo:

Codice:

[quote]
[/quote]

tra le quali c'è scritto il mio testo, lì puoi cancellare tutto quello che ho scritto a cui non vuoi fare riferimento nella citazione e lasciare solo la parte relativa al "secondo passaggio".

A proposito di questo: d'ora in avanti, per rispondere ai messaggi usa il pulsante "Rispondi" in basso a sinistra: citare tutto il messaggio del tuo interlocutore è inutile e allunga solamente la discussione. Grazie !

Mi scuso: sono nuovo nel forum e devo abituarmi

So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo

Bene, ma adesso l'hai capito?
Anche perché adesso tra le mie due soluzioni e quella di Mephlip l'abbiamo risolto in tre modi diversi...

Determinare l'intervallo in cui varia \(z\), distinguiamo due casi su \(r\). Se \(0<r<1\)...

Ultima modifica di curioso54 il 23/02/2024, 11:25, modificato 4 volte in totale.

So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo

Bene, ma adesso l'hai capito?
Anche perché adesso tra le mie due soluzioni e quella di Mephlip l'abbiamo risolto in tre modi diversi...

Ehm...il mio obiettivo non era arrivare al risultato che già conoscevo (che ho pure specificato asserendo che deve tornare il un certo modo), ma capire dove sbagliavo applicando un certo metodo...

So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo

Bene, ma adesso l'hai capito?
Anche perché adesso tra le mie due soluzioni e quella di Mephlip l'abbiamo risolto in tre modi diversi...

E no, con le sferiche sapevo già come farlo.
Penso che Mephlip abbia capito la mia richiesta molto bene

So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo

Bene, ma adesso l'hai capito?
Anche perché adesso tra le mie due soluzioni e quella di Mephlip l'abbiamo risolto in tre modi diversi...

Ti ringrazio dell'aiuto, ma se io chiedo in un forum di capire dove sbaglio nel tentativo di ottenere un risultato in un modo preciso mentre tu mi dici che si può fare in un altro modo quando già lo so, è dell'ausilio non richiesto.

Ho specificato più volte che volevo capire l'errore procedurale e non il risultato in sé. Melphip ha captato subito la richiesta.

@curioso54: Tranquillo, piano piano ci si abitua alle funzioni del forum .

Allora, arrivati a quel punto sappiamo che \(0<r<2\) ma ancora non sappiamo dove varia \(z\) perché abbiamo la disequazione \(1-r^2<z^2<4-r^2\) che ci dà invece informazioni su dove varia \(z^2\). Non possiamo subito estrarre le radici quadrate in \(1-r^2<z^2<4-r^2\), perché una disequazione è equivalente a quella ottenuta estraendo la radice quadrata ambo i membri se e solo se ambo i membri sono non negativi e non è questo il caso per \(0<r<2\). Quindi, un possibile modo di procedere è quello di distinguere dei casi su \(r\) in modo tale che si abbia certezza sul segno delle quantità dipendenti da \(r\) presenti nella disequazione \(1-r^2<z^2<4-r^2\). Dato che \(4-r^2 > z^2\) e \(z^2 \ge 0\), certamente è \(4-r^2 \ge 0\). Invece, su \(1-r^2\) non possiamo fare questa osservazione perché è \(1-r^2 < z^2\) e quindi da \(z^2 \ge 0\) non otteniamo alcuna informazione sul segno di \(1-r^2\). Perciò, l'unica speranza è studiare il segno di \(1-r^2\) al variare di \(r\). Ho quindi notato che se \(0<r<1\) è \(1-r^2>0\), perciò \(1-r^2<z^2<4-r^2\) è equivalente a \(\sqrt{1-r^2}<|z|<\sqrt{4-r^2}\) e così ottengo una condizione su \(|z|\) nel caso in cui è \(0<r<1\). Studiamo ora l'altro caso \(1<r<2\): per esso si deduce che \(1-r^2<0\) e quindi, essendo \(z^2 \ge 0\), certamente \(1-r^2 < z^2\) è vera sempre. Quindi, in questo caso \(1-r^2 < z^2\) non influisce su \(1-r^2 < z^2 < 4-r^2\) e perciò in questo caso basta studiare \(z^2<4-r^2\). Come prima, è \(0 \le z^2 \le 4-r^2\) e quindi \(4-r^2 \ge 0\). Perciò, possiamo estrarre la radice in \(z^2<4-r^2\) deducendo che \(1-r^2 < z^2 < 4-r^2\) è equivalente a \(|z|<\sqrt{4-r^2}\) per \(1<r<2\).

Abbiamo quindi ottenuto, in base a due intervalli diversi in cui varia \(r\), delle condizioni su \(|z|\) equivalenti alle disequazioni di partenza. Non sono ancora condizioni "pulite su \(z\)" a causa della presenza del valore assoluto, ma come hai già letto ho ovviato a questo problema con un ragionamento sulla parità. Perciò, dopo il ragionamento di parità, abbiamo due intervalli numerici su \(r\) e due intervalli di \(z\) che varia tra due funzioni di \(r\) e possiamo quindi applicare nei due casi separati le formule di riduzione per il calcolo degli integrali multipli. Spero che sia più chiaro ora; se non ho capito bene il tuo dubbio, chiedi pure ulteriori delucidazioni.