Semplice dimostrazione sulle successioni

Si supponga che $lim_(n->+oo) x_n$ sia una successione di numeri reali convergenti al limite $x_0 !=0$ e che i termini $x_n$ siano diversi da $0$ per ogni $n$.
Dimostrare che esiste $B>0$ tale che $|x_n|>=B$ per ogni $n$.

Vi scrivo un pezzo della mia dimostrazione.
Suppongo $x_0>0$. Per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di infinito, $(M,+oo)$ in cui la successione è sempre positiva.
Considero quindi $B=x_0/2$; per $x$ sufficientemente vicino a $x_0$, ho che $x_0/2=B<x_n$, e quindi questo caso è dimostrato.
Però la proposizione dice che per ogni $n$ riesco a trovare un $B$ tale che $|x_n|>=B$, quindi devo dimostrare che esiste questo $B$ anche per $x notin (M,+oo)$.
Mi dareste un input così che capisca come procedere?

Un insieme finito di numeri reali ha minimo

Quindi se considero la successione in $x_1,x_2,...,x_M$ ($x_M=M$) questo insieme contiene un minimo. Però mi conviene considerare $|x_1|, |x_2|,...,|x_M|$ perché la successione può assumere anche valori negativi e $B>=0$. Inoltre non è neanche detto che la successione sia monotona: per ipotesi $x_0>0$, quindi so solo che da un certo punto in poi la funzione è sempre positiva, ma non è detto che ciascun elemento sia sempre più vicino al limite di tutti quelli che lo precedono.
Se indico con $B$ il minimo fra gli $|x_1|,|x_2|,...,|x_M|$ mi sembra di aver dimostrato la proposizione.

Pensavo dovessi applicare alcuni enunciati che presenta il mio libro, invece bastava questa considerazione sugli insiemi dei numeri reali (che comunque nel mio libro non è stata dimostrata né enunciata, infatti io non ci ho minimamente pensato).

Non c'è bisogno di distinguere i casi sul segno di \(x_0\) perché, essendo per ipotesi \(x_0 \ne 0\), è \(|x_0|>0\). Quindi, posto \(B:=\min\{|x_1|,|x_2|, \dots,|x_M|,|x_0|/2\}\), risulta \(|x_n| \ge B\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\) in quanto ogni \(|x_i|\) è positivo. Il minimo esiste per il suggerimento dato da Fioravante (e l'insieme \(\{|x_1|,|x_2|, \dots,|x_M|,|x_0|/2\}\ \) è composto da \(M+1\) elementi).

Chiaro, grazie mille.