Classe $C^oo$

Posso chiedervi solo una conferma dell'ultimo ragionamento? Volevo esser certo di non dire altre fesserie così da chiudere il discorso .
Scusate se sono domande stupide ma sto preparando analisi 1 quindi sono concetti che propriamente non ho visto col prof ma mi avevano incuriosito e volevo capirli meglio anche per il futuro.

Grazie e saluti a tutti voi!

Avoglia chiedi pure.

Grazie
Purtroppo è rimasto nella pagina precedente. Volevo solo chiedere conferma di quanto faceva notare nell'ultimo messaggio l'utente. E se il motivo era questo:

Ah giusto, perché stupidamente mi ero fermato alla continuità della funziona. Ma non è detto che una C-inf. abbia anche inversa e continua. Credo sia per questo, giusto?

Mi ero fossilizzato solo su un verso.

o ve ne fossero altri più nascosti che mi sfuggono, riguardo quell'argomento che ha evidenziato (sono proprio gli ultimi due messaggi nella pg. precedente).

A ben vedere in realtà l'ipotesi $3$ è superflua per la natura precisa del dominio, infatti una funzione da un intervallo compatto, iniettiva è anche un'omeomorfismo sull'immagine, ma forse da dove è stato tratto non si è dimostrato questo risultato e quindi ha dovuto mettere l'ipotesi apposta (nota che anche così non è detto che l'inverso sia $C^\infty$!).

Sì, esatto, in realtà andando avanti nella lettura lo dimostra alcune pagine dopo ma dove affrontava quell'argomento l'ha dovuto usare come HP aggiuntiva.

La mia domanda era comunque banalmente questa, sicuramente stupida, ma volevo esser certo di aver fissato le idee:
in pratica io so che è $C^oo$ per HP, tuttavia solo con questa ipotesi non avrei che anche l'inversa è continua. Per questo devo introdurre l'HP 3) di essere omeomorfismo. L'ipotesi di differenziabilità mi dà solo la certezza di essere di fronte a continuità sulla funzione, ma non sulla sua inversa. In sostanza.