Integrale di superficie

Sia S la superficie ottenuta ruotando attorno all'asse z il grafico della funzione:
$ x=1-sqrt(1-z^2) , zin[-1,1] $
A) Determinare una rappresentazione parametrica di S
B) Calcolare l'area di S

L'esercizio è stato svolto in due modi:
1°modo : utilizzando le coordinate cartesiane
2°modo : utilizzando le coordinate cilindriche

Problema: mi aspettavo che l'area calcolata nei due modi fosse la stessa , invece no.
Domanda: ho sbagliato qualcosa?

[1°modo]
$r(t)=((1-sqrt(1-t^2)),0,t), tin[-1,1] $
$r(t,theta)=((1-sqrt(1-t^2))costheta, (1-sqrt(1-t^2))sintheta, t) , tin[-1,1],thetain[0,2pi)$
$dS=|x(t)|sqrt([x'(t)]^2+[z'(t)]^2)dtdTheta=(1/sqrt(1-t^2)-1)dtdTheta$
$ a(S)=int int_(S) 1 dS=int int_([-1,1]X[0,2pi]) (1/sqrt(1-t^2)-1)dtdTheta=2pi(pi-2) $
[2°modo]
$rho=x(z)=1-sqrt(1-z^2)$
$r(z,theta)=(1-sqrt(1-z^2),Theta,z),zin[-1,1],Thetain[0,2pi)$
$dS=rhodzdTheta= dzdTheta$
$ a(S)=int int_([-1,1]X[0,2pi]) (1-sqrt(1-z^2))dz dTheta =pi(4-pi) $

Anche nel secondo devi moltiplicare per

$sqrt([\rho'(t)]^2+[z'(t)]^2)$

Grazie mille !
Non riuscivo a venirne a capo