Compatto?

Ciao forum

E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).

Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"

E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di sottosuccessione che non ha nessuna che converga?

Sono confuso e spero in una mano nella comprensione. CIao!

PS: ad esempio mi chiedo devo mostrare che chiuso limitato $!=>$ compatto, quindi nego la definizione edeto trovare che : esisite una successione t.c per ogni $x_k$ estratta non converge? E' una buona idea?

Il punto è che anche il limite deve appartenere all'insieme, quindi in quel caso la successione $(1/n,1/n)_(n\inNN)$, è una successione limitata non convergente.

Ciao

non ho capito però una cosa. CIoè, se la definizione è che ho un compatto se ogni successione ha una sottosuccessione convergente.

allora io pensavo che nel caso di R2 \ {0} se ho un non compatto allora devo mostrare che non vale la definizione, cioè negarla quindi: esiste una successione t.c per ogni xk estratta non converge no? E invece perché non va bene?

La seconda cosa che volevo chiederti è invece sulla tua risposta, sono d'accordo che la successione da te indicata non sia convergente, ma per definizione di "compatto" non basterebbe trovarne una sottosuccessione convergente? Non mi torna con la definizione data il fatto che se ho una successione non convergente allora non è compatto, da dove mi esce?

Grazie

Manca un passaggio a quello che ho detto, devi notare che ogni sottosuccessione di quella successione non è convergente, infatti convergendo essa in $RR^2$ a $0$, anche le sue sottosuccessioni lo faranno e quindi non sono convergenti in $RR^2\setminus{0}$.

Ahh ora ho capito, non ci ero arrivato.
Comunque in sostanza stai proprio mostrando questo:

allora io pensavo che nel caso di R2 \ {0} se ho un non compatto allora devo mostrare che non vale la definizione, cioè negarla quindi: esiste una successione t.c per ogni xk estratta non converge no? E invece perché non va bene?

, che mi importava capire se avesse senso. E ora capisco di si con la tua spiegazione.


Mi piacerebbe chiederti un'altra cosa riguardo i compatti.

Dà in particolare una caratterizzazione: "Un insieme E è chiuso se e solo se per ogni successione in E che converga in X, il suo limite appartiene ad E"

tuttavia da altre fonti ho trovato questa caratterizzazione:
"Sia E contenuto in X, $forall X$ x appartiene alla chiusura di e se e solo se è limite di una successione a valori in E". Oss: La chiusura di E coincide dunque con l’insieme di tutti i possibili punti limite di successioni in E

D'altra parte per ancora un'altra caratterizzazione: "un sottoinsieme $C ⊆ X$ è chiuso sse coincide con l’insieme di tutti i suoi punti aderenti, ossia $C = ¯C$"

Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E. Mi sembra giusto vero?

Si sono tutte equivalenti. Però in che contesto sei, perchè non sempre valgono queste cose, cosa è $X$?

In realtà è analisi 1 (quindi R e topologia std), però dopo quella frase del prof per rispondere a una domanda ho letto altre cose approfondendo marginalmente su quel che ho trovato in rete e per il tempo che avevo a disposizione. E da qui i moltissimi dubbi.

Se ho ben capito quello è vero perché siamo in una topologia in cui vale il primo assioma di numerabilità. Però è solo una cosa che ho letto, non saprei dire il motivo per cui sia vero.

Esatto, poi volendo varrebbe anche in condizioni più deboli, ma lasciamo stare.

Speriamo di rivedere bene queste cose in un corso più approfondito perché ad analisi non mi è sembrato granché.