04/04/2024, 09:28
bmabs ha scritto:Più che di un esercizio in sé vorrei capire una cosa riguardo la logica che sottende la verifica del limite tramite la definizione con epsilon e delta vari.
Per la definizione di limite
$AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$
tutto bene, ora mi aspetto di dover sfruttare questo e di solito infatti si parte dalla condizione di aver scelto un epsilon a caso
Imposto la $|f(x)-l|<\epsilon$
e dimostro con vari passaggio che $|x-x_0|<g(\epsilon)=\delta$ cioè trovo una certa funzione di epsilon che sarà la mia delta cercata.
Quello che onn mi convince però è che io parto da: $|f(x)-l|<\epsilon$ però io parto dalla implicazione, cioè quello è il risultato che SE esiste delta allora vale quella disuguaglianza con valore assoluto con il valore del limite. A me sembra che verifico questo fatto:
Se e esiste epsilon che verifica questo: $|f(x)-l|<\epsilon$ ALLORA esiste il delta. Ma non è mica vero che se A=>B per essere vera non devo verificare B (nel nostro caso $|f(x)-l|<\epsilon$) => A (nel nostro caso A è: che esiste delta)
Non so se sono riuscito a spiegarmi molto nel caso provo a riscrivere con altre parole.
leggendo la tua risposta mi è chiaro quello che si sta facendo: si assume un epsilon a piacere e si determina l'insieme di soluzioni $S_(l,k)$, da qui valendo una biimplicazione $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ diventa una implicazione quando trovo il $delta$ raggio dell'opportuno intorno forato, che essendo un sottoinsieme a quel punto varrà come implicazione "=>".gugo82 ha scritto:Sbagli ad interpretare le implicazioni.
Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).
Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l|<epsilon$, i.e. $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta => |f(x) - l| < epsilon$.
Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.
09/04/2024, 10:22
13/04/2024, 15:38
14/04/2024, 14:50
14/04/2024, 17:29
15/04/2024, 19:36
15/04/2024, 23:33
16/04/2024, 00:38
mi sembra molto simile come errore. Ma forse sto prendendo una cantonata.Ciò che mi incasina è che da: ||x|−1|<ɛ (o qualunque altro caso simile) noi deduciamo una delta t.c. |x−1|<δ
E quel deduciamo lo interpreto come "implica": se ho un epsilon => trovo un delta
16/04/2024, 12:16
limitato ha scritto:Forse ho individuato una parte dell'errore con un esempio scemo. Però credo fosse più un errore di logica:
quello che facevo era asserire che se prendo un maschio e vedo che quel maschio è un padre, allora deducevo che: se maschio => padre. cosa totalmente errata, e credo il mio errore fosse un po' quello, difatti:mi sembra molto simile come errore.Ciò che mi incasina è che da: ||x|−1|<ɛ (o qualunque altro caso simile) noi deduciamo una delta t.c. |x−1|<δ
E quel deduciamo lo interpreto come "implica": se ho un epsilon => trovo un delta
limitato ha scritto:Detto questo, mi sembra che tu mi stia indicando un'altra strada, però non ho capito perché risolverebbe il dubbio. vediamo:
Ho le soluzioni:
# ($x>=1$ unita $x<=-1$) da intersecarsi con ($x<epsilon+1$ unito $x>-epsilon-1$)
# ($0<=x<1$ unita $-1<x<0$) intersecata con ($x>epsilon-1$ unita $x<1-epsilon$)
ho fatto di notte fonda quindi sicuro avrò cannato qualcosa però mi sembra giusto come idea... ho semplicemente tolto i moduli uno dentro l'altro con i vari sottocasi.
18/04/2024, 17:19
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