Calcolo dominio, iniettività e suriettività funzione logaritmica

Ciao a tutti,

mi potreste aiutare, per favore, con lo svolgimento di questo esercizio?

Calcolo del dominio della seguente funzione $f(x) = ln(3-x)/(xlnx)$ e la verifica se sia iniettiva e/o suriettiva nei seguenti insiemi di definizione: $[0,1], (1,2), (0,1)$

Impongo le condizioni di esistenza ed ottengo il dominio ${x in RR: 0<x<1 vv 1<x<3}$

Come faccio a controllare l'iniettività e la suriettivita, analiticamente, negli insiemi dati?

Per controllare se una funzione è iniettiva, in assenza del grafico, studio la seguente equazione

$f(x_1) = f(x_2)$

Quindi in questo caso ho

$ ln(3-x_1)/(x_1lnx_1) = ln(3-x_2)/(x_2lnx_2) $

Al di la che sto avendo problemi proprio con i calcoli in quanto mi blocco

$(x_2lnx_2)ln(3-x_1) - (x_1lnx_1)ln(3-x_2)$

Ho dei dubbi se i calcoli sono corretti proseguendo in questo modo

$(lnx_2^x_2)ln(3-x_1) - (lnx_1^x_1)ln(3-x_2)=0$

Sia se riuscissi a dimostrare in questo modo che la funzione è iniettiva, ciò non mi direbbe se lo è negli insiemi dati.

Stessi problemi si presentano con la suriettività.

Analiticamente per la suriettività, mi calcolo la funzione inversa e dopodichè mi calcolo il dominio, ma poi? Come dovrei procedere?

Grazie a tutti per l'aiuto

Se fai uno studio di funzione con un po' di attenzione (con limiti, derivate, massimi e minimi, concavità e asintoti), l'iniettività e la suriettività le deduci facilmente dal grafico.

@Quasar3.14: Il codominio di \(f\) non è stato specificato?

Se fai uno studio di funzione con un po' di attenzione (con limiti, derivate, massimi e minimi, concavità e asintoti), l'iniettività e la suriettività le deduci facilmente dal grafico.

Purtroppo sono argomenti non ancora affrontati. Per il momento sto studiando simmetrie, iniettività, suriettività, inversa. Comunque, sono d'accordo, con il grafico della funzione l'iniettività e la suriettività diventa evidente a colpo d'occhio.

@Quasar3.14: Il codominio di \( f \) non è stato specificato?

No, il testo dell'esercizio è proprio come quello riportato nel primo post. Non essendo specificato penso che sia $RR$

Ciao Quasar3.14,

La funzione proposta $y = f(x) = ln(3-x)/(xlnx) $ è continua e ha dominio naturale $D = {x in RR: 0<x<1 vv 1<x<3} $ e, in assenza di specifiche, codominio $C = \RR $ sul quale è suriettiva. Ha poi tre asintoti verticali di equazione $x = 0 $, $x = 1 $ e $x = 3 $ e siccome per $x \in (0, 1) $ sicuramente $f(x) < 0 $ e $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty $ ciò significa che per $x \in (0, 1) $ ci sarà un massimo, anche se immagino non sarà così facile calcolarlo se non numericamente. Poi per $x \in (1, 2) $ la funzione proposta è positiva, dato che si ha $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty $ e $f(2) = 0 $, mentre per $x \in (2,3) $ la funzione è negativa e $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty $

Purtroppo tutti i passaggi che hai esposto non li ho ancora studiati quindi non so come avrei potuto risolvere questo esercizio. I limiti di funzione, minimi e massimi, asintoti, non sono ancora stati toccati come argomenti.
Grazie per l'aiuto!

Va bene, ma trovato il dominio naturale $ D = {x \in \RR: 0 < x < 1 \vv 1 < x < 3} $ almeno lo studio del segno e le intersezioni con gli assi cartesiani di una funzione dovresti saperlo fare:

$ y = f(x) = ln(3-x)/(xlnx) \ge 0 $

i) per $x \in [0, 1] $ o per $x \in (0, 1) $ si ha $f(x) < 0 $;
ii) per $x \in (1, 2) $ si ha $f(x) > 0 $ e $f(2) = 0 $;
iii) per $x \in (2, 3) $ si ha $f(x) < 0 $.

Per la suriettività basta che studi il segno della funzione (quando è positiva e quando è negativa).

Per quanto riguarda l'iniettività, sinceramente senza limiti né derivate non lo saprei fare.

Poi l'intervallo chiuso $[0,1]$ non è ammissibile come dominio perché $f(0)$ e $f(1)$ non esistono.