05/05/2024, 01:39
ripositore ha scritto:Insomma, forse quella parte nel quote che mi ha portato fuori strada la riscriverei dicendo "y varia nel dominio $ (−∞,0) $ unito $ (0,+∞) $ a seconda di k" sei d'accordo così?
ripositore ha scritto:Però a questo punto ti dirò la verità, non capisco perché compia questo ragionamento:se come ho finalmente capito il dominio non è $ (0,+∞) $ trovo insensato imporre quella condizione di $ >0 $. Prima aveva senso nel mio errore interpretativo, ora no!fatto ciò per sostituzione della condizione mi trovo $ k $ da cui $ y(t)=(2-t^3)/3 $ ma non è ancora la soluzione definitiva perché vale la condizione $ y(t)>0 $ cioè: $ (2-t^3)/3>0 $ da cui trovo le t di y(t) per cui è soluzione: $ t<2^(1/3) $.
ripositore ha scritto:questo non mi viene in mente . Ci ho pensato e credo abbia a che fare con l'idea precedente dove impone $ (2-t^3)/3>0 $ e trova le t per cui vale. Ma non riesco bene a capire il motivo dato che come dicevo nel quote appena sopra non mi è chiaro il ragionamento.E, nel suo dominio naturale, non può essere una soluzione lecita di una EDO: perché?
PS:risponderei così: data $ f:(a,b)->RR $ dicesi primitiva la funzione la funzione $ g:(a,b) $ in $ RR $ derivabile tale che $ g'(x)=f(x), forall x in (a,b) $ è la formulazione più furba che mi viene in mente di dare.Domanda collegata: che cos’è una primitiva?
05/05/2024, 15:03
ripositore ha scritto:Sia il problema di cauchy
$y'=y^2t^2$
$y(1)=3$
SOL guidata:
1)
- posto $b(y)=0$ trovo $y=0$ soluzione stazionaria
- se $y!=0$ posso integrare dopo aver separato $int 1/y^2 dy=intf^2 dt$ => $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR$
(ed è qui che non riuscivo a vedere il problema di cauchy, mi pareva cioè che questa soluzione fosse una funzione che ha dominio ciò che rende vero: $(t^3+3k)!=0$ senza aver chiesto nulla a cauchy, perché il dominio e i valori di y li ho già belle che pronti e gratis dalla risoluzione e non ho imposto alcuna condizione iniziale apparentemente)
2)
da qui poi vedevo partire la soluzione del problema di C.:
- $y=0$ non soddisfa la condizione iniziale e la levo dalle scatole
- ragiono su $(-oo,0)$ unito $ (0,+oo)$, siccome il pdc ha soluzioni su un intervallo devo scegliere uno dei due ed evidentemente è il secondo dato che $y(1)=3 in(0,+oo)$ (è la condizione iniziale che determina l'intervallo su cui lavorare)
fatto ciò per sostituzione della condizione mi trovo $k$ da cui $y(t)=(2-t^3)/3$ ma non è ancora la soluzione definitiva perché vale la condizione $y(t)>0$ cioè: $(2-t^3)/3>0$ da cui trovo le t di y(t) per cui è soluzione: $t<2^(1/3)$.
(oss: è anche la massimale non esistendo prolungamenti possibili, infatti ho preso tutto l'intervallo)
se $y_0 > 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) > 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
\[
t^3 < t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t < \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
\]
quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]-\infty , \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}[\);
05/05/2024, 23:02
07/05/2024, 10:20
07/05/2024, 21:44
08/05/2024, 00:50
Ma siete di coccio...
se $y_0 > 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) > 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
\[
t^3 < t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t < \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
\]
quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]-\infty , \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}[\);
08/05/2024, 01:07
08/05/2024, 08:34
08/05/2024, 08:51
08/05/2024, 11:51
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