B)Studio della funzione integrale $F(x)= int_a^x f(t)dt$
Consigli e suggerimenti .
*Studiare prima di tutto,anche in modo sommario,la funzione integranda $f(t)$.
Sarà utile considerarne il dominio, gli asintoti, i limiti agli estremi del dominio e tracciarne un grafico,anche se approssimato.
Adesso si può passare allo studio $F(x)$ :
*E'ovvio ma utile ricordare che $F(a)=0 $ .
*Valutare, quando possibile, il segno di $F(x)$,osservando il segno appunto dell'integrale definito (e quindi dell'area corrispondente) data da $int_a^x f(t)dt$.
Prestare attenzione : se si considera $int_a^b f(t)dt $ con $b < a $, converrà trasformarlo in $ - int_b^a f(t)dt$ ; si è così ripristinato il "verso normale di integrazione " in cui l'estremo inferiore di integrazione è minore di quello superiore.
Ad esempio se $F(x)= int_0^x e^(-x^2)$ sappiamo che $F(0)=0 $; inoltre essendo l'area racchiusa tra la curva e l'asse delle ascisse sempre positiva ne consegue che per la funzione integrale in questione è :
*$F(X) > 0 $ per $x>0 $
ma
*$F(X) < 0 $ per $x<0 $ [infatti $int_0^x e^(-t^2)dt= -int_x^0 e^(-t^2)dt$].
* Calcolare poi $lim_(x rarr +-oo)F(x) = lim_(x rarr +-oo)int_0^x f(t)dt $ e verificare se l'integrale converge o diverge, usando i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Si avrà quindi :
-se l'integrale diverge allora anche $F(X) $ diverge
-se invece l'integrale converge , allora $lim_( x rarr +-oo)F(x )= l$ (finito) e questo significa che $F(x)$ ha asintoto orizzontale di equazione $y = l $ .
Se si sa calcolare l'integrale improprio allora è possibile determinare l'esatto valore di $l $, altrimenti no, bisogna magari
limitarsi alla conoscenza del segno, se deducibile da altre considerazioni (zeri, crescenza , decrescenza della funzione
$F(x))$.
*E' opportuno poi calcolare gli altri limiti di $F(x)$ nei punti di discontinuità di $f(t)$.
Sia $t=c$ punto di discontinuità per $f(t)$.
E' opportuno distinguere vari casi :
a) esiste finito il limite destro della funzione integranda , allora la funzione integrale è definita e continua a destra.
b) analogo risultato nel caso esista finito il limite sinistro.
c) esiste finito il limite della funzione integranda , ma la funzione non è continua in $ t=c $ :$f(c) ne lim_(t rarr c)f(c)$, allora la funzione integrale è continua in $t=c$.
[Queste considerazioni derivano dal fatto che i punti dell'asse reale hanno misura di Lebesgue nulla: diciamo che quello che succede alla funzione integranda in un singolo punto non ha effetto sull'integrale].
Possiamo trarre pertanto la conclusione che :
-la funzione integrale $F(x)$ relativa ad $f(t)$ è continua nei punti $c$ in cui $f(t)$ presenta delle discontinuità eliminabili o di prima specie ( esistono finiti i limiti destro e sinistro ma sono diversi).
-Quando invece la discontinuità è di seconda specie o addirittura uno dei limiti non esiste allora la cosa si fa problematica .
Se l'integrale diverge allora $ x=c $ sarà asintoto verticale per $F(x)$.
Chiaramente in quest'ultimo caso la funzione $F(x)$ non sarà definita per valori $x > c $ (se $c > 0$) in quanto la funzione integrale divergerà.
Esempio $F(x)=int_0^x e^t*dt/(t-1)$.
Chiaramente $ t=1 $ è punto di discontinuità per la funzione integranda .
Valutiamo $F(1)=lim_(x rarr 1^(-))int_0^x e^t*dt/(t-1) $ e vediamo che l'integrale diverge a $-oo$ e quindi pure $F(x) $ diverge a $-oo$.
$F(x)$ pertanto non è definita per $x > 1$ e il suo dominio sarà quindi $(-oo,1)$.
*Passo successivo assai significativo è quello di calcolare la derivata di $F(x) $ che sappiamo essere $F'(x)= f(x) $.
Si deducono quindi gli intervalli di crescenza , decrescenza, punti di stazionarietà della funzione integrale e quindi i suoi punti di max e min relativi, gli eventuali punti di cuspide e/o punti a flesso a tangente verticale : le normali informazioni che si ottengono dallo studio della derivata prima di una funzione.
*Se possibile si calcola anche la derivata seconda $F''(x)=f'(x)$ che fornirà quindi quali siano gli intervalli di concavità , convessità e i punti di flesso della funzione integrale.
*Per verificare se $F(x)$ ha asintoto obliquo , nel caso ovviamente
che $F(x)$ diverga a $+- oo $ si calcola $m=lim_(x rarr +-oo)[F(x)]/x $=$ lim_(x rarr +-oo)(int_a^x f(t)dt)/t $=
$= lim_(x rarr +-oo)f(x)$ avendo usato la regola di De l'Hopital per l'ultimo passaggio.
Va poi verificato, prima di concludere che esiste asintoto obliquo che :
$lim_( x rarr +-oo) [F(x)-mx] = q $ esista finito.
SEGUE
Edit : modifiche in accordo con suggerimenti di gugo e ampliamenti
Ultima modifica di
Camillo il 25/01/2008, 13:26, modificato 1 volta in totale.