Qui sotto, per k=1.1, è rappresento Dk:
<img src="http://utentiforum.supereva.it/goblyn/dominio.jpg" border=0>
Fissiamo un sistema di riferimento con origine in (2;1), che d'ora in poi sarà quindi (0;0).
Notiamo che l'integrale su Dk è uguale alla differenza dell'integrale su D e dell'integrale sul cerchio con centro in (-2;-1) e raggio k. Quest'ultimo ha equazione:
(x+2)^2 + (y+1)^2 <= k^2
x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 - k^2 <= 0
che, in coordinate polari, diventa:
r^2 + 2*(2*cos(t)+sin(t))*r + 5-k^2 <= 0
ovvero, risolvendo rispetto a r:
<font color=red>0 <= r <= -2*cos(t) - sin(t) + sqrt(delta)</font id=red>
con delta=(2*cos(t)+sin(t))^2 - 5 + k^2
L'equazione della funzione considerata in questo sistema di riferimento e in coordinate polari è:
f(r,t) = r^(-4/3)
la funzione integranda sarà quindi:
f(r,t)*r*dr*dt = r^(-1/3) * dr * dt
Integriamo prima in r ottenendo:
(3/2)*r^(2/3) da valutare tra gli estremi dati dall'espressione in rosso. I conti si fanno quasi proibitivi... inoltre avevo provato per un'altra strada (ma simile a dire il vero) e mi risultava un integrale non risolvibile elementarmente. Mi viene il dubbio che si debba ricorrere a qualche scorciatoia... ci penserò!
ciao!