Esercizi di topologia

8) Let $p:X \rightarrow Y$ be a quotient map. Show that if each set $p^{-1}({y})$ is connected and if Y is connected, then $X$ is connected.

Non riesco a capire la meccanica di questo esercizio. Se mi illuminate vi ringrazio.

Per definizione di mappa quoziente (o come si dice), gli aperti di $X$ sono esattamente le controimmagini degli aperti di $Y$. Dunque se $p^(-1)({y})$ è unione di due aperti disgiunti...

Dunque se $p^(-1)({y})$ è unione di due aperti disgiunti...

Ma $p^{-1}({y})$ è connesso per ipotesi... devo provare negando le ipotesi? E poi dove vado a finire? Perdonami se non ho ben capito

Tranquillo, avevo letto male io, mi ero perso il primo "if"! Ma il fatto che $p^(-1)({y})$ sia connesso non segue direttamente dal ragionamento che stavo facendo? In ogni caso poi è simile, se $X=f^(-1)(Y)$ è unione di due aperti disgiunti non vuoti $f^(-1)(A)$ e $f^(-1)(B)$ con $A$ e $B$ aperti di $Y$, allora $A$ e $B$ sconnettono $Y$. Ma scorre tutto così liscio che ho paura di star dando per scontato qualcosa che non lo è.

Dai per scontato che $A$ e $B$ siano disgiunti, invece secondo me quello che possiamo dire è che

$ \emptyset = f( \emptyset ) = f(f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) ) \subseteq f(f^{-1}(A)) \cap f(f^{-1}(B) ) = A \cap B $

cioe $A \cap B$ contiene il vuoto... mi è sfuggito qualche cosa? Grazie!

Sì perché $f$ è suriettiva e quindi quella è un'uguaglianza!

Ah gia scusa hai ragione te Però ho un ' altra obiezione, sei sicuro che ogni aperto di $X$ sia controimmagine di qualche aperto di $Y$? Perchè la definizione di quotient map nel mio libro dice solo $f^{-1}(A)$ è aperto in $X$ se e solo se $A$ è aperto $Y$. Questo esclude che in $X$ ci siano aperti che non siano controimmagini di aperti di $Y$ ??

Verissimo, mi ricordavo male io la definizione, quelli che consideravo io si chiamano "aperti saturi". Chiedo scusa.
Adesso ci penso.

Comunque secondo me la strategia è quella che hai detto tu, solo che devo farci entrare anche quel $p^{-1}({y})$ connesso. Ora ci penso un pò ...

La strada è proprio mostrare che se $X$ è unione disgiunta di due aperti $A$ e $B$, questi due sono saturi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se ad esempio $A$ non è saturo, esiste $yinf(A)$ tale che $f^(-1)({y})$ non sia contenuto in $A$. Allora abbiamo una sconnessione di $f^(-1)({y})$ intersecandolo con $A$ e $B$.