Salve a tutti, potreste guidarmi sui seguenti esercizi?
$1)$Si consideri il seguente endomorfismo $F:\RR^4->\RR^4: F(x,y,z,t):=(\alphax-\alphay,\betaz-\betat,\alphax+\alphay,\betaz+\betat)$ dove $alpha e beta$ sono parametri reali. Si consideri $\RR^4$ munito del prodotto scalare standard.
$a)$ Stabilire per quali valori di $alpha$ e $beta$ , $F$ è una trasformazione ortogonale
$b)$ In corrispondenza di tali valori, determinare una base ortonormale del sottospazio $F^-1(W), dove $F^-1 denota l'inverso di $F$ mentre $W$ è il sottospazio $W={(x,y,z,t)\in \RR^4:t=0}$
Non mi è chiaro il punto b):
Chi è $F^-1(W)$? $F$ è chiaramente un automorfismo quindi è invertibile ma come si calcola l'inversa?
Inoltre ho trovato che $ \alpha=\beta=+-1/sqrt2$, mi basta scegliere uno qualunque dei due valori?$2)$ $a)$Si consideri l'endomorfismo $F:\RR^3->\RR^3$ associato, rispetto alla base canonica alla matrice $A=( ( 1 , -1 , 1 ),( -1 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 ) )$. Verificare che $L=FoF$ è un endomorfismo simmetrico e determinare una base ortonormale di $\RR^3$ costituita da autovettori di$L$
$b)$ PRovare in generale, che se $F:(V,g)->(V,g)$ e $G:(V,g)->(V,g)$ sono endomorfismi simmetrici di uno spazzio vettoriale euclideo, tali che $FoG=GoF$ allora $L:=FoG$ è anch'esso simmetrico
Per quanto riguarda questo esercizio:
Devo trovarmi l'applicazione lineare $F$ associata alla matrice, calcolarmi la composizione e verificare che comunque presi due vettori, il prodotto scalare $F(v_1)*v_2=v_1*F(v_2)$; determino gli autovalori, gli insiemi delle soluzioni relative a $A-\lambdaId_3$ per ogni autovalore; determino quindi una base di autovettori, eventualmente da completare(?) (un endomorfismo simmetrico ammette solo autovalori reali, non ricordo se posso concludere qualcosa sul numero di autovettori). Gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono tutti ortogonali tra loro, quindi eventualmente dovrei solo normalizzare.
Per quanto riguarda il punto b) come posso muovermi?$3)$Sono dati uno spazio vettoriale euclideo $(V,g)$ di dimensione $2$ e una sua base $B={e_1,e_2}$ tali che $||e_1||=1=||e_2||$.
$a)$ Determinare una base ortogonale ${v_1,v_2}$ di $(V,g)$ tale che: $g(v_1,e_1)=-2$ assumendo che $g(e_1,e_2)=sqrt(3) / 2$
$b)$ Mostrare che l'endomorfismo $F:(V,g)->(V,g)$ tale che $F(e_1)=e_2, F(e_2)=e_1$ è simmetrico
Qui non credo di sapere come muovermi. La base $B$ che definisce è quella canonica? $g$ è il prodotto scalare standard? Però il prodotto scalare che definisce sui vettori della base $B$ non è nullo, quindi non lo so.
In generale, cercherei di determinare $v_1 e v_2$ verificando che non siano isotropi. In tal caso potrei determinare $V^_|_:={v\in V| g(v_1,v)=0,g(v_2,v)=0} $e quindi i generatori di tale sottospazio.
Per quanto riguarda il punto b), sempre appellandomi alla definizione di endomorfismo simmetrico arrivo a $e_1*e_1=e_2*e_2$, chiaramente se il prodotto scalare è quello standard e la base è quella canonica, l'uguaglianza è verificata e quindi fine.
Ma altrimenti come faccio?
4) Ho un endomorfismo simmetrico in $\RR^4$, con il prodotto scalare standard e devo determinare una base ortonormale di autovettori.
Determino i 4 autovalori che risultano essere $1,3$ (1 ha molteplicità algebrica 3) e i 4 autovettori relativi che in questo caso sono $<(1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)>, <(0,1,1,0)>$, dovrei trovare che gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard.
Però ho trovato che due autovettori sono uguali, ho sbagliato qualcosa o mi basta togliere il vettore in questione e completarlo ad una base ortonormale di $\RR^4$? In questo caso i due vettori per completarla sarebbero $(0,1,0,0),(0,0,1,0)$. E' giusto?
Vi ringrazio per l'aiuto e vi chiedo scusa per le troppe domande.
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paolo1712 il 14/02/2024, 16:16, modificato 2 volte in totale.