Domanda su sfera e omeomorfismo

Ciao a tutti, ho appena iniziato il secondo corso di geometria (ossia il primo non di algebra lineare) e il professore ha fatto una divagazione che mi ha molto incuriosito. Essendo nella prima parte del corso non ho i concetti chiari, ma ormai sono cosi curiso che vorrei chiedere riguardo a quello che so per letture personali fatte in passato.

- In particolare il professore ha detto che la sfera non è omeomorfa ad alcun aperto di $RR^2$ e lo riesco a capire perché intuitivamente perché la sfera è un chiuso e un aperto del piano no, quindi non potrò avere un aperto nella controimmagine di un omeomorfismo.

- Inoltre so che la sfera non ha la stessa curvatura del piano, per questo non esiste la "cartina perfetta" della terra su una mappa piana (che era il problema iniziato da gauss)

- So anche (però in modo non molto formale) che la curvatura è preservata dalle isometrie.

E quindi mi chiedo c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?
(Ovviamente viene facile giustificarlo con il primo dei tre punti ma volevo capire se dipendesse anche dal concettto di curvatura)

Inoltre mi accorgevo che cilindro e piano hanno curvatura identica, e infatti si possono parametrizzare 1:1 con un omeomorfismo unito e anche isometrico.

Ma queste due cose sono vere in generale?
Vorrei quindi per curiosità capire se questi tre concetti sono legati oppure no tra loro: ho curvatura identica per due oggetti <=> ho possibili omeomorfismi unici che legano due oggetti (cioé non solo due o più omeomorfismo possibili, ma può esisterne uno uno unico che lega due figure)<=> sono isometriche le due figure (cioè ho un isometria tra le due)?

La sfera è compatta (ovvio), nessun aperto del piano è compatto (dimostra questa seconda cosa, è altrettanto ovvia con la def di compatto). Ergo, dato che spazi omeomorfi sono entrambi compatti o entrambi no, sfera e (aperto del) piano non possono essere omeomorfi.

c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?

La risposta breve è che la risposta è legata a un invariante un po' raffinato di una varietà $M$, la categoria di Lusternik-Schnirelmann di $M$, https://en.wikipedia.org/wiki/Lusternik–Schnirelmann_category

La sfera è compatta (ovvio), nessun aperto del piano è compatto (dimostra questa seconda cosa, è altrettanto ovvia con la def di compatto). Ergo, dato che spazi omeomorfi sono entrambi compatti o entrambi no, sfera e (aperto del) piano non possono essere omeomorfi.

sì, certo, infatti è quello che mi ero fatto autonomamente e quello che dicevo nel punto 1.

però se noti le mie domande sono differenti, cioè io sto cercand un legame tra gli altri concetti e chiedevo se esistono. Se non è chiaro posso ripeterlo, però quello che dici tu mi era chiaro ed è quello che indicavo nel punto 1. Ma la domanda (o meglio le domande) erano altre

intanto che faccio un UP, vorrei capire il legame (se esiste) di quanto dicevo nel primo post.

Ora a me pare che isometria => omeomorfismo e isometria=> preserva curvature sono garantite, ma gli altri legami? Esistono?

Grazie

intanto che faccio un UP, vorrei capire il legame (se esiste) di quanto dicevo nel primo post.

Ora a me pare che isometria => omeomorfismo e isometria=> preserva curvature sono garantite, ma gli altri legami? Esistono?

Grazie

Avendo studiato da autodidatta, non so bene quale scaletta seguiate nei corsi e a che livello sei... perché a me il collegamento con la Sfera di Riemann (che è omeomorfa a $\mathbb{S}^2$) viene abbastanza naturale e inoltre dovrebbe venir presentata in vari contesti (qui la si pensa tangente all'origine nel piano complesso), ma semplificando, qualcosa del genere compare già nelle trasformazioni di Möbius, pensandole proprio come "ombre" proiettate sul piano cartesiano di una porzione compatta di superficie della sfera, illuminata da una luce al suo polo Nord... la sfera in questo contesto può idealmente muoversi sul terzo asse (ortogonale al suddetto piano), ruotare su se stessa, espandersi/rimpicciolirsi e via dicendo (lo scrivo perché è l'intro più semplice che mi viene, mentre parlare di geometria proiettiva mi sembra fuori contesto). Just my two cents.

Equindi mi chiedo c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?

Se ho capito la domanda, la risposta è no, non c'entra. Il motivo per cui la sfera non è omeomorfa a un aperto del piano ha a che vedere con la compattezza, come diceva megas_archon. Se togli un punto a una sfera (per esempio il polo nord), ottieni un insieme che è omeomorfo al piano (tramite la proiezione stereografica per esempio). Ed è ovvio che se alla sfera togli un punto la curvatura non cambia (non ti sembra?).

Non confondere isometria con omeomorfismo, sono cose molto diverse. La sfera è localmente omeomorfa al piano (è una varietà con due carte) ma non è localmente isometrica al piano (appunto per via della curvatura).