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Continuità per successioni

01/09/2014, 10:32

Ciao, amici! La continuità di un'applicazione $f:X\to Y$ in $x_0$, definita dal fatto che \(\forall U\in\mathcal{N}(f(x_0))\) \(\exists V\in\mathcal{N}(x_0):f(V)\subset U \) (dove \(\mathcal{N}(x)\) è la famiglia di tutti gli intorni di $x$) è equivalente, nel caso di $X$ e $Y$ spazi metrici, al fatto che per ogni successione \(\{x_n\}\) convergente a $x_0$ si abbia \(\lim_n f(x_n)=f(x_0)\).
Quest'equivalenza vale per classi più generali di spazi topologici?
$\infty$ grazie!!!

Re: Continuità per successioni

01/09/2014, 11:17

Andando a memoria, dovrebbe valere in tutti gli spazi di Hausdorff. Se ricordo bene la dimostrazione di quella proposizione, l'unica cosa importante è che il limite sia ben definito. Attendi verifiche per avere la certezza, ma ne sono abbastanza convinto.

01/09/2014, 12:02

La proprietà \(\displaystyle\mathrm{T}_2\) assicura solo l'unicità del limite; la proprietà giusta è \(\displaystyle\mathrm{N}_1\)!

Ne ho scritto più volte nel forum, se fai una ricerca...

Re: Continuità per successioni

01/09/2014, 20:51

Quindi sia dominio sia codominio $T_2$ e soddisfacenti il primo assioma di numerabilità?
@Armando: non riesco a trovare nulla: ricordi mica qualche titolo di post in cui se ne parla?
$\infty$ grazie!

02/09/2014, 20:57

Veramente basta solo la proprietà \(\displaystyle\mathrm{N}_1\)...

Ho trovato diverse discussione in cui uso questa proprietà, ma non una specifica!

Prova a consultare un libro di topologia, dovrebbe bastarti.

Re: Continuità per successioni

03/09/2014, 05:12

Ha ragione j18eos, addirittura è importante solo che il dominio sia \({\rm N}_1\), per il codominio non servono ipotesi particolari (se non quella di essere spazio topologico). Mi scuso per l'imprecisione, non sarei dovuto andare a memoria.

Per la necessità non servono ipotesi particolari né sul dominio né sul codominio (se non quella di essere spazi topologici).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Una successione convergente (anche senza l'unicità del limite) è una funzione continua \(\widetilde{\mathbb{N}} \to E\), se \(f\) è continua si ha che la composizione \[\widetilde{\mathbb{N}} \to E \to F\] è continua, ovvero la successione delle immagini è convergente.


Che il dominio sia \({\rm N}_1\) è indispensabile per portare avanti la dimostrazione della sufficienza.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Supponiamo che \(f\) non sia continua in \(\xi\). Allora esiste un intorno \(V\) di \(f(\xi)\) tale che per ogni intorno \(U\) di \(\xi\) si abbia \(f(U) \not\subset V\). Consideriamo \((U_n)\) sistema fondamentale di intorni di \(\xi\) indicizzato (in maniera monotona rispetto all'inclusione) coi naturali. In ciascuno di quegli intorni si può trovare un punto \(x_n\) tale che \(f(x_n) \not\in V\). Così facendo abbiamo ottenuto una successione che converge a \(\xi\) senza che le immagini convergano a \(f(\xi)\).

03/09/2014, 10:39

Epimenide93 ha scritto:...Mi scuso per l'imprecisione, non sarei dovuto andare a memoria...
Ma figurati, negli spazi metrici si usano così tante proprietà topologiche "ovvie" che nessuno\a ci fa più caso. ;)

Re: Continuità per successioni

03/09/2014, 12:19

Grazie di cuore, ragazzi!!!
@Epimenide93: che belle dimostrazioni! Non conoscevo \(\tilde{\mathbb{N}}\), che direi sia lo spazio dei numeri naturali in cui gli aperti sono \(\mathbb{N},\emptyset\) e tutti gli insiemi della forma \(\{N,N+1,...\}\), ma lo trovo uno spazio molto affascinante, per esempio in relazione alla continuità delle successioni in esso.

03/09/2014, 12:27

DavideGenova ha scritto:...e tutti gli insiemi della forma \(\{N,N+1,...,+\infty\}\)...

Per definizione \(\displaystyle\infty\in\widetilde{\mathbb{N}}=\widehat{\mathbb{N}}=\overline{\mathbb{N}}\) (a secondo delle notazioni... Io preferisco la seconda, oltre che essere storicamente legata al concetto di "punto all'infinito" della geometria proiettiva.)

Re: Continuità per successioni

03/09/2014, 13:00

Grazie ancora!!!!!
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