Base in F7[x]

Armando, sì che \( \displaystyle T \) è un sottospazio: nella definizione di \( \displaystyle T \) non si dice che \( \displaystyle f(1),f(2),f(\pi) \) devono essere diversi da zero.

Martino, in $T$ ci sono le funzioni $f(x)=0$ ma $x!={1,2,\pi }$ quindi di conseguenza, credo, $f(1)$ debba essere $!=0$ e così anche $f(2)$ e $f(\pi)$.

No, nella definizione di T non c'è scritto niente del genere.

Un elemento di T è semplicemente una funzione \( \displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che è nulla su un certo sottoinsieme \( \displaystyle S \) , nella fattispecie \( \displaystyle S = \mathbb{R}-\{1,2,\pi\} \) .

Se \( \displaystyle S \) è un qualsiasi sottoinsieme di \( \displaystyle \mathbb{R} \) allora l'insieme \( \displaystyle T_S = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ :\ f|_S = 0\} \) è un sottospazio vettoriale di \( \displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) , lo spazio delle funzioni \( \displaystyle \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) . Per \( \displaystyle f|_S = 0 \) intendo \( \displaystyle f(s)=0\ \forall s \in S \) .

E se \( \displaystyle \mathbb{R}-S \) ha \( \displaystyle n \) elementi allora \( \displaystyle \dim(T_S)=n \) . Pensa alle funzioni caratteristiche dei punti. Ne parli anche in altri posti nel forum.

Stai parlando di una funzione $f : RR \to S$ tale che $f(x):=\{(0 , if x in S), (x , if x notin S):}$
Ovviamente uso la tua notazione per $S$.

@klodette Quello è il mio stesso erro: quelle funzioni sono in \(\displaystyle T\) ma non sono tutte e sole le funzioni in \(\displaystyle T\)!

Con la mia definizione \( \displaystyle T_S := \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ :\ f(s)=0\ \forall s \in S\} \) . Nel seguito dati due insiemi \( \displaystyle A,B \) indico con \( \displaystyle A^B \) l'insieme delle funzioni \( \displaystyle B \to A \) . Qualsiasi operazione \( \displaystyle \ast \) su \( \displaystyle A \) induce un'operazione su \( \displaystyle A^B \) definita da \( \displaystyle (f \ast g)(b) := f(b) \ast g(b) \) dove \( \displaystyle b \in B \) . In particolare se \( \displaystyle A \) è uno spazio vettoriale allora anche \( \displaystyle A^B \) è uno spazio vettoriale con le operazioni indotte (la moltiplicazione per scalare sarà \( \displaystyle (\lambda f)(b) := \lambda f(b) \) ).

Ora \( \displaystyle T_S \cong \mathbb{R}^{\mathbb{R}-S} \) (come spazi vettoriali). L'isomorfismo è dato dalla restrizione a \( \displaystyle \mathbb{R}-S \) . In pratica sto dicendo che conoscere una funzione di cui si sa che è nulla in ogni elemento di \( \displaystyle S \) equivale a conoscerla fuori da \( \displaystyle S \) . Nel tuo caso \( \displaystyle \mathbb{R}-S = \{1,2,\pi\} \) quindi \( \displaystyle T_S \cong \mathbb{R}^{\{1,2,\pi\}} \cong \mathbb{R}^3 \) .

Più esplicitamente, dato \( \displaystyle a \in \mathbb{R} \) considera la funzione \( \displaystyle \chi_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( \displaystyle \chi_a(x) = 1 \) se \( \displaystyle x=a \) e \( \displaystyle \chi_a(x)=0 \) se \( \displaystyle x \neq a \) . Allora certamente il tuo \( \displaystyle T \) contiene \( \displaystyle \chi_1,\chi_2 \) e \( \displaystyle \chi_{\pi} \) (sei d'accordo? Basta controllare la definizione). Non solo, ma ogni elemento \( \displaystyle f \in T \) è del tipo \( \displaystyle \alpha \chi_1 + \beta \chi_2 + \gamma \chi_{\pi} \) , basta prendere \( \displaystyle \alpha = f(1) \) , \( \displaystyle \beta = f(2) \) e \( \displaystyle \gamma = f(\pi) \) . Inoltre, \( \displaystyle \chi_1,\chi_2,\chi_{\pi} \) sono linearmente indipendenti (prendi una combinazione lineare che fa zero e prova a valutarla in \( \displaystyle 1,2,\pi \) ). Quindi \( \displaystyle \{\chi_1,\chi_2,\chi_{\pi}\} \) è una base di \( \displaystyle T \) .