Spazi affini

Mi sapreste spiegare bene la differenza tra spazio affine e spazio affine numerico?

Sia \(\mathbf{k} = (k, +, \cdot)\) un campo, \(\mathbb{V} = (V,+, \mathbf{k}, \cdot)\) un \(\mathbf{k}\)-spazio vettoriale, \(\mathbf{V} = (V,+)\) il gruppo additivo di \(\mathbb{V}\). Uno spazio affine \(\mathbf{A}\) (su \(\mathbb{V}\))¹ è costituito da un insieme \(A\) su cui \(\mathbf{V}\) agisce in maniera libera e transitiva.

Uno spazio affine numerico è un particolare spazio affine in cui \(A = k^n\) e \(\mathbb{V} = \mathbf{k}^n\).

Gli spazi affini numerici sono i "prototipi" dei generici spazi affini, in quanto ogni \(\mathbf{k}\)-spazio affine è isomorfo al \(\mathbf{k}\)-spazio affine numerico della stessa dimensione. Insomma, per gli spazi affini succede una cosa analoga a quanto succede per gli spazi vettoriali o più in generale per i moduli liberi.

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Note

1. o, con leggero abuso, \(\mathbf{k}\)-spazio affine ↑

E una spiegazione in parole più povere?

Per farla senza scrivere un libro sarebbe utile che tu fornissi un minimo di contesto. Dove hai incontrato queste definizioni? Cosa non ti è chiaro della fonte? Cosa non ti è chiaro di quello che ho scritto? Con quante e quali parti della geometria sei a tuo agio? Dell'algebra lineare?

Io ti ho scritto le definizioni formali e dato una chiave d'interpretazione in termini di strutture più semplici. Probabilmente ti sarebbe utile prendere carta e penna e cercare di "decomprimere" da te la spiegazione. Ci può stare, comunque, che tu ne richieda una "con le mani", ma se non metti in chiaro il background una tale spiegazione potrebbe essere lunga quanto un libro (eventualmente pieno per più di metà di cose che già sai).

Si può però pensare che in uno spazio vettoriale i vettori sono "sospesi in aria"

O che abbiano il didietro piantato nell'origine, mentre in uno spazio affine possono "mettere il culo dove gli pare".

Concordo quasi con tutto, tranne che con la specifica:

Uno spazio affine numerico non è altro che uno spazio affine in cui \(V\) sia \(\mathbb{R}^n\) o \(\mathbb{C}^n\).

Preso un qualsiasi campo \(\mathbf{k}\), \(V\) può essere un qualsiasi \(\mathbf{k}^n\), poco importa che \(\mathbf{k}\) sia un campo finito, \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q}(\pi, \sqrt{3})\), \(\mathbb{F}_{27}(x)\) o \(\mathbb{C}[x,y](t)\). Dicendo che lo spazio affine è numerico non si richiede che il campo vettoriale sia "numerico" nel senso usuale del termine (che comunque non escluderebbe \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{Q}(\pi, \sqrt{3})\) dagli esempi), ma solo che l'insieme a sostegno dello spazio affine sia lo stesso a sostegno dello spazio vettoriale, e sia il prodotto cartesiano di \(n\) volte il sostegno del campo¹ (con \(n\) dimensione dello spazio). È un ottima strategia pedagogica studiare queste cose all'inizio fissandosi in testa come esempi \(\mathbb{R}^2\) ed \(\mathbb{R}^3\) con sopra le rispettive strutture vettoriali e affini, ma una volta presa confidenza con la materia bisogna anche ricordarsi che esistono campi diversi da \(\mathbb{R}\) su cui si può fare geometria (il che non è un mero esercizio di stile o una perversione per le generalizzazioni, campi diversi da quello reale saltano fuori sia nelle applicazioni in altri rami della matematica che in alcune applicazioni alla fisica e all'informatica, tanto per fare degli esempi), non è una cosa sulla quale si può glissare.

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Note

1. i "numeri" in questione ↑

Spero che a mmattiak risulti utile avere una "rozzezza indecente" e subito dopo correzioni che consentono di avvicinarsi meglio a uno studio serio della materia.

Ma va' là... Il tuo intervento è estremamente utile, non ci vedo niente di indecente, ho solo voluto puntualizzare su un aspetto non del tutto corretto. Sulla base del principio che "chi insegna deve dire la verità e nient'altro che la verità ma non necessariamente tutta la verità", ci sta fare esempi solo su \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\), ci sta un po' meno dire che debba trattarsi per forza di \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\). Questo non toglie nulla al resto della spiegazione, molto intuitiva, e che probabilmente servirà a mmattiak più della mia.