Vettore norma minima

Buonasera!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio: considerato il sottoinsieme $W={(x, y, z) | x − 2y + 2z = 1} ⊂ R^3$, si determini il vettore $w∈ W$ di norma minima.

Allora ho trovato una base di $W=<(3,1,0),(-1,0,1)>$ e so che dal Teorema della proiezione ortogonale la norma di $v-w$ ha uno ed un solo punto di minimo che è la proiezione di v su w $p_w(v)$.

Qualcuno può dirmi se è corretto e magari aiutarmi con i conti? Grazie mille

Ma guarda che $W$ non è un sottospazio vettoriale. Non contiene l'origine.

Ma guarda che $W$ non è un sottospazio vettoriale. Non contiene l'origine.

Mea culpa, è una varietà lineare

E' un problema di minimo, si tratta di calcolare il minimo della quantità $x^2+y^2+z^2$ vincolato alla relazione $x-2y+2z=1$. Il modo più brutale e diretto è di sostituire $x=1-2z+2y$ nella prima equazione e trovare il minimo nel modo classico (gradiente nullo etc.).

Non c'è alcune ragione per scomodare l'analisi. Quello è un sottospazio affine di \(\mathbb{R}^3\), la norma è in sostanza la distanza da \(\displaystyle \mathbf{0} \). Siccome \(\displaystyle \mathbf{0}\notin W \) allora bisogna trovare il punto \(\displaystyle 0 +\pm d\mathbf{w} \) dove \(\displaystyle d \) è la distanza tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle W \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) è il versore associato alla superficie. Il \(\displaystyle \pm \) sta ad indicare che uno dei due è quello corretto.

Il versore associato a \(\displaystyle W \) è, come risaputo, \(\displaystyle \frac{(1,-2,2)}{\sqrt{1 + 2^2+2^2}} = \frac{(1,-2,2)}{3} \). In ogni caso \(\displaystyle d = \frac{\lvert 0+0+0-1\rvert}{3} = \frac13 \).

Pertanto \(\displaystyle P = \frac13 \frac{(1,-2,2)}{3} = \frac{(1,-2,2)}{9} \), infatti \(\displaystyle \frac{1}{9}1+4+4 = \frac{9}{9} = 1 \)