Traccia

Ciao, qualcuno può aiutarmi con questo problema per favore?

Sia data $A$ matrice quadrata $n$ x $n$ con $n > 1$, di rango 1, a coefficienti in un campo $K$.
Provare che $A$ è diagonalizzabile se e solo se $TrA != 0$.
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La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale, ma anche la somma degli autovalori, giusto? però non so come dimostrare ciò che chiede.

Grazie

Ciao, supponiamo dapprima $Tr(A) ne 0$. Possiamo passare, cambiando base (ciè ottenendo una matrice simile), ad una matrice con tutte le colonne nulle tranne l'ultima (perché?), quindi nella forma
$ ( (0,0,..., lambda_1) , (...,...,...,...) , (0,0,..., lambda_(n-1)) , (0,0,..., lambda_n)) $

La condizione che la traccia è non nulla diventa quindi $lambda_n ne 0$ (ricorda che la traccia non cambia passando a matrici simili). A questo punto puoi applicare il teorema di diagonalizzabilità, mostrando che gli autovalori hanno molteplicità geometria e algebrica uguale. Questo è verificato, perché per l'autovalore $0$ hai $n-1$ in entrambe le moltplicità, e per $lambda_n$ idem (per la geometrica, puoi esibire un autovettore in maniera diretta, $(lambda_1, ..., lambda_n)$ ad esempio). Quindi hai la diagonalizzabilità.

L'altra direnzione è più semplice, prova da sola. Rifletti sul fatto che se la matrice è diagonalizzabile, siccome il rango è solo $1$, quanti zeri devono comparire sulla diagonale dopo che diagonalizzi?

vediamo se ho capito

allora, dato che la matrice ha rango 1 ho una matrice con "n-1" zeri sulla diagonale, quindi la traccia della matrice (somma dei valori sulla diagonale) è data dall'unico elemento non nullo, quindi se la traccia fosse zero avrei una matrice con una diagonale di zeri, ovvero con tutti autovalori nulli, perciò non diagonalizzabile; dunque devo avere traccia non nulla.

è corretto?

Corretto, tranne che per una deduzione:

quindi se la traccia fosse zero avrei una matrice con una diagonale di zeri, ovvero con tutti autovalori nulli, perciò non diagonalizzabile dunque devo avere traccia non nulla.

Il problema non e' che tale matrice non e' diagonalizzabile, ma che e' una matrice con tutti zeri, e quindi non ha rango $1$ bensi' zero, contro l'ipotesi.

Tra l'altro una matrice diagonale con tutti zeri e' diagonalizzabile perche' e' proprio diagonale (fuori dalla diagonale ha zeri, banalmente). Ciao!

Ok, ho capito grazie mille!! byeee