Equazione canonica di una conica

Ciao a tutti, precedendo nel determinare l'equazione canonica della seguente conica (mediante il metodo degli invarianti):
$ 5x^2 + 5y^2 - 6xy +16sqrt(2)x - 38 = 0 $,
scrivo la seguente equazione:
$ 4x^2 + y^2 = 1 $;
mi chiedo come faccio a determinare se tale equazione è corretta, piuttosto che: $ x^2 +4 y^2 = 1 $ ? Oppure le due espressioni sono equivalenti (notare il coefficiente della $ x $ e della $ y $?

Grazie in anticipo

è chiaro che se prendi la conica e la ruoti di $90°$ ottieni l'altra equazione

Quindi posso concludere che le due equazioni sono equivalenti? Cioè, dall'equazione di partenza, posso determinare solo una tra le due equazioni o entrambe?

La conica che ottieni è la stessa: un'ellisse con i semiassi che misurano $1$ e $1/2$.
In un caso l'asse maggiore sta sull'asse delle y e nell'altro caso su quello delle x, ma la conica ottenuta è la stessa.

Perfetto grazie