Corrispondenza biunivoca rette ed equazioni lineari

Ho questa definizione da dimostrare:
"Esiste una corrispondenza biunivoca tra le rette del piano affine e le classi di proporzionalità di equazioni lineari in due incognite."
E' dovuta al fatto che l'equazione lineare $(x - x_0)/l = (y - y_0)/m$ si può scrivere come $mx - ly + ly_0 - mx_0 = 0$, e cioè del tipo $ax + by + c = 0$. E' vero? E questa la dimostrazione?

ho trovato questo post del 2016 ma è la stessa dimostrazione che serve a me...Qualcuno può rispondere??

Una retta è definita da un vettore, quello che la genera; un'equazione lineare è determinata dalla classe di proporzionalità della tupla dei suoi coefficienti. Manda uno nell'altro, questa assegnazione è biiettiva (in effetti, si tratta di un isomorfismo, esattamente l'isomorfismo tra \(\mathbb{P}(V)\) e \(\mathbb{P}(V^\lor)\) dato dalla scelta di opportune coordinate pluckeriane per i punti).

Tanto per dirla in maniera diversa
Considera che le soluzioni di un sistema lineare possono essere viste come l’insieme dei punti le cui coordinate(rispetto a un riferimento) soddisfano quel sistema lineare.
Si vede che questo è uno spazio affine e precisamente...

$P+Ker(M):={X inA:X-P inKer(M)}$

Anche se ci sarebbe da aggiungere qualcosa...

Tanto per dirla in maniera diversa
Considera che le soluzioni di un sistema lineare possono essere viste come l’insieme dei punti le cui coordinate(rispetto a un riferimento) soddisfano quel sistema lineare.
Si vede che questo è uno spazio affine e precisamente...

$P+Ker(M):={X inA:X-P inKer(M)}$

Anche se ci sarebbe da aggiungere qualcosa...

il problema è che il mio prof vuole essere dimostrato questo enunciato.

Come faccio???