Grafo

Un teorema dice che: Sia $Γ$ un grafo, sia $e$ un lato di $Γ$, sia $Γ'$ il grafo ottenuto da $Γ$ contraendo il lato $e$ a un punto e sia $c : X_Γ-> X_{Γ'}$ la corrispondente applicazione continua. Se il lato $e$ ha due vertici distinti, allora c è un’equivalenza omotopica.
Però se tipo io considero un triangolo, preso qualunque suo lato ha due vertici distinti, ma se vado a contrarre alla fine verrebbe che il triangolo è omotopicamente equivalente al punto, mentre sappiamo che è omotopicamente equivalente alla circonferenza, quindi non ho capito bene il teorema come funziona... qualcuno mi sa dire? Grazie.

Sì, qualcuno ti sa dire.

Se il lato $e$ ha due vertici distinti

La risposta è qui.

Se il lato $e$ ha due vertici distinti

La risposta è qui.

Scusa ma se prendo un triangolo e prendo un suo lato non ha due vertici distinti (dato che è un segmento)?

Non hai capito l'enunciato di quello che hai letto, e non hai fatto un disegno di cosa succede.

Prendi un triangolo. Crusha un suo lato. Il risultato è una circonferenza, cioè due segmenti uniti per il bordo. Prendi un altro lato, cioè uno dei due segmenti. Crushalo. Il risultato è una circonferenza, che parte da quello che ora è l'unico vertice, e ci torna. A questo punto non ci sono più lati tra vertici distinti, perché non ci sono più vertici distinti.

Non hai capito l'enunciato di quello che hai letto, e non hai fatto un disegno di cosa succede.

Prendi un triangolo. Crusha un suo lato. Il risultato è una circonferenza, cioè due segmenti uniti per il bordo. Prendi un altro lato, cioè uno dei due segmenti. Crushalo. Il risultato è una circonferenza, che parte da quello che ora è l'unico vertice, e ci torna. A questo punto non ci sono più lati tra vertici distinti, perché non ci sono più vertici distinti.

Ah ok si, e che io facevo erroneamente coincidere anche i due lati quando facevo la contrazione (tipo come se fosse una retrazione per deformazione su un triangolo pieno) invece li devo separare e quindi viene una circonferenza, grazie dell'aiuto.

Metto anche la dimostrazione vera: in un complesso di celle 1-dimensionale, una 1-cella il cui bordo è fatto da punti distinti è una mappa continua \(e : D^1 \to \Gamma\) la cui composizione con l'inclusione \(S^0\hookrightarrow D^1\) è iniettiva; ma una tale mappa $e$ è una cofibrazione, e quindi il pushout
\[\begin{CD}
D^1 @>e>> \Gamma \\
@VVV @VVV \\
1 @>>> \Gamma/e
\end{CD}\] è un pushout omotopico, e una conseguenza di questo fatto è che la mappa $D^1\to 1$, che è un'equivalenza omotopica, viene pushata-out nell'equivalenza omotopica \(\Gamma\to \Gamma/e\)

In questa figura:




possono andare bene questi passaggi di omotopicamente equivalenza?:

Per l'ultima volta, si dice "equivalenza omotopica". Ho l'impressione che l'Italiano non sia la tua lingua madre.

Comunque, sì, i disegnini sono corretti. Prova a trovare delle condizioni su un multidigrafo per cui esso sia omotopicamente equivalente a una somma wedge di cerchi.

Per l'ultima volta, si dice "equivalenza omotopica". Ho l'impressione che l'Italiano non sia la tua lingua madre.

Mi scusi di nuovo (in effetti la mia lingua madre non è l'italiano ma la matematica )

Comunque, sì, i disegnini sono corretti. Prova a trovare delle condizioni su un multidigrafo per cui esso sia omotopicamente equivalente a una somma wedge di cerchi.

Quando avrò tempo vedrò cos'è un multidigrafo e una somma wedge di cerchi, grazie dello spunto.

Non è difficile. Ogni grafo connesso ha un sotto-grafo contraibile massimale contenente tutte le 0-celle. Questo sotto-grafo è omotopicamente equivalente a un punto. Quello che rimangono sono circonferenze attaccate tutte a un punto. Quante?