Definizione carta slice

Sia $X$ una varietà differenziabile e $S \subset X$ un sottoinsieme tale che per ogni $x \in S$ esiste carta $(U,\phi)$ di $X$ intorno ad $x$ tale che $\phi(S \cap U)=\phi(U) \cap \mathbb{R}^k$ dove identifichiamo $\mathbb{R}^k$ con un qualsiasi sottospazio coordinato affine $k$ dimensionale. Se chiamiamo $\pi:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ la proiezione sulle prime $k$ coordinate per quale motivo se dotiamo $S$ della topologia indotta allora $\pi(\phi(U\cap S))$ è un aperto di $\mathbb{R}^k$ ?

Credo di aver capito qualcosa. $ S\cap U$ è un aperto nella topologia relativa di $S$. Ora $\phi (U\cap S)$ è un aperto nel sottospazio affine $\mathbb{R}^k$ con la topologia indotta da $\mathbb{R}^n$ non grazie al fatto che $\phi$ è un omeomorfismo nella carta $(U,\phi)$ ma proprio perché per definizione $\phi (U\cap S)=\phi (U)\cap \mathbb{R}^k$ . Ora devo capire se posso sfruttare il fatto che la proiezione è aperta per concludere. La proiezione è aperta da $\mathbb{R}^n$ in $\mathbb{R}^k$, qui non so come dovrei ragionare

Sì, devi procedere come hai scritto!

Ho capito come procedere. Per concludere non bisogna usare il fatto che la proiezione è aperta. Bisogna dimostrare che la funzione $ f: X \times \{y \} \rightarrow X $ è aperta. Questo é un risultato classico che ho trovato in kosniowsky nella dimostrazione che $ X \times \{y \} $ è omeomorfo a $X$ .

...ed alla fine ce l'hai fatta?

Si certo, perché appunto l'applicazione $f : \{y\} \times X \rightarrow X$ è aperta ed io non riuscivo a capire come poter dimostrare questo fatto sfruttando il fatto che la proiezione $\pi_X: X \times Y \rightarrow X $ è aperta. Infatti non bisogna usare questo fatto ma mostrare a mano che l'immagine di un aperto nella topologia relativa di $\{y\} \times X$ è aperta in $X$