cambio sistema di riferimento

Buongiorno a tutti, gradirei se possibile un chiarimento sui cambi di coordinate:

Supponiamo di passare dal sistema $(x,y,z,)$
al sistema di coordinate $(u,v,w)$
mediante la trasformazione lineare invertibile:

$x=x(3u−2v−w)$
$y=y(−u−v+2w)$
$z=z(u+3v−2w)$


In sostanza volevo capire il significato geometrico dei vettori $(delr)/(delu)$,$(delr)/(delv)$,$(delr)/(delw)$
rappresentati nel video: https://youtu.be/On4oeXnXTNA?list=LL (al min. 16:27 circa) in caso di trasformazione lineare come quella che ho descritto sopra.

Mi sembra di capire nel mio caso che ogni vettore $(delr)/(delu)$,$(delr)/(delv)$,$(delr)/(delw)$ giace su un piano descritto dalle equazioni $(3u−2v−w)$, $(−u−v+2w)$, $(u+3v−2w)$ ma non ne sono sicuro.



grazie molte a tutti per la pazienza !!!

$x=x(3u−2v−w)$

$y=y(−u−v+2w)$

$z=z(u+3v−2w)$

Immagino che tu intendessi scrivere:

$\{(x=3u−2v−w),(y=−u−v+2w),(z=u+3v−2w):}$

... che ogni vettore ... giace su un piano ...

Poichè un vettore giace univocamente su una retta, non su un piano, dovresti esporre il tuo dubbio diversamente.

grazie 1000 per la tua risposta mi sono spiegato malissimo, non sono un matematico putroppo ma semplice appassionato !!
Da quello che ho capito io i tre vettori che nel video sono chiamati $(delr)/(delu)$,$(delr)/(delv)$,$(delr)/(delw)$ appartengono ai tre assi/rette coordinati che a loro volta sono complanari ai tre piani $(3u-2v-w), (-u,-v+2w), (u+3v-2w)$ ?
grazie ancora !!

... ai tre piani ...

Premesso che, per assegnare un piano, è necessario scrivere un'equazione, immagino tu intendessi:

$3u−2v−w=0$

$−u−v+2w=0$

$u+3v−2w=0$

Ad ogni modo, ho l'impressione che tu stia facendo confusione tra i due sistemi di riferimento. Per esempio, poichè:

$[x=3u−2v−w] ^^ [x=0] rarr [3u−2v−w=0]$

$[y=-u−v+2w] ^^ [y=0] rarr [-u−v+2w=0]$

$[z=u+3v-2w] ^^ [z=0] rarr [u+3v-2w=0]$

le equazioni che probabilmente intendevi scrivere altro non sono che, rispettivamente, le equazioni dei piani:

$x=0$

$y=0$

$z=0$

rispetto al nuovo sistema di riferimento. Invece, le componenti dei tre vettori sottostanti:

$\{(x=3u−2v−w),(y=−u−v+2w),(z=u+3v−2w):} rarr$

$rarr (delr)/(delu)=[[3],[-1],[1]] ^^ (delr)/(delv)=[[-2],[-1],[3]] ^^ (delr)/(delw)=[[-1],[2],[-2]]$

sono espresse rispetto al vecchio sistema di riferimento. A questo punto immagino che tu intendessi ricavare le nuove coordinate in funzione delle vecchie:

$\{(u=u(x,y,z)),(v=v(x,y,z)),(w=w(x,y,z)):}$

e porre:

$u(x,y,z)=0$

$v(x,y,z)=0$

$w(x,y,z)=0$

ok, grazie molte ancora !!!