Determinante e Volume di un n-parallelepipedo

Grazie mille , purtroppo essendo non frequentante seguo le dispense e il libro, ma proverò a prendere contatti con il professore.

Sempre se aveste voglia, mi piacerebbe riportare la seconda parte dubbia:


Alternativamente, il volume è dato dalla formula $sqrt(det(vi · vj ))$ (sempre pos-
itivo). La matrice $(vi · vj )$ coincide infatti con la matrice prodotto $M^t · M$ .

OSS: Siano dati k vettori ${v1, . . . , vk}$ in Rn. Consideriamo il parallelogramma
generato da essi. In questo caso, per calcolare il volume rispetto al prodotto
scalare standard, possiamo usare la formula $sqrt(det(vi · vj ))$. Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk.
Più in generale, dati k vettori R{v1, . . . , vk}R in uno spazio Euclideo $(V, ·)$, il
volume del parallelogramma da essi generato coincide con $sqrt(det(vi · vj ))$ perché
qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente

Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro, meno chiaro è il discorso:

"Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk."

Credo di non aver ben capito cosa voglia fare.

E quando dice:

perché qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente

come si riconduca al precedente.


Onestamente ci ho ragionato molto, ma non ho concluso granché

Il fatto che il volume sia dato dalla radice quadrata che hai scritto è chiaro, perché puoi scrivere tutti i vettori $v_i$ usando una base ortonormale $w_1,...,w_k$ dello spazio generato da $v_1,...,v_k$ e a questo punto puoi trattarli a tutti gli effetti come vettori di $RR^k$ identificando $a_1w_1+...+a_kw_k$ con la $k$-upla $(a_1,...,a_k)$. Questo è utile perché ti permette di calcolare il volume $k$-dimensionale generato da $k$ vettori $v_1,...,v_k$ anche se lo spazio ambiente $RR^n$ ha dimensione $n$ maggiore del numero di vettori $k$. La dimostrazione è semplice: dopo aver scritto tutto usando una base ortonormale, puoi pensare di avere $k$ vettori in $RR^k$ e il volume è, come al solito, $|det(M)|$ dove $M$ è la matrice che ha i $v_i$ come colonne (o come righe, non cambia niente), d'altra parte
$|det(M)| = sqrt(det(M)^2) = sqrt(det(M)*det(M)) = sqrt(det(M^t)*det(M)) = sqrt(det(M^t*M))$.
Il punto è che la matrice $M^t * M$ può essere calcolata senza dover passare per una base ortonormale, basta fare $A^t * A$ dove $A$ è la matrice che ha i $v_i$ come colonne (e quindi $A$ è una matrice con $n$ righe e $k$ colonne).

Certamente, quello che dici era la giustificazione che mi ero dato e per quello dicevo "Sulla parte di $sqrt(det(vi · vj ))$ mi pare chiaro".

In realtà non ho capito come riconduca poi quel ragionamento fatto nei due punti:

"Infatti, a meno di
trasformazioni ortogonali, possiamo supporre che i vettori appartengano a $RR^k ×
0 ≤ RR^n$ e quindi ci riportiamo nella situazione in cui il numero k di vettori
coincide con la dimensione dell’ambiente Rk."

Banalmente non capisco cosa stia dicendo con $RR^k × 0 ≤ RR^n$ e che c'azzeccasse con il discorso della radice/determinante/trasposta ecc svolto.

Inoltre poi dice:

perché qualunque base ortonormale per V genera una isometria con R^n, e quindi ci
riportiamo nella situazione precedente

non capisco il discorso della isometria e cosa cerchi di tramadarmi.

erano queste le due domande in reatà, perché non ho afferrato cosa volesse dirmi. il resto mi è chiaro.

Eh però le risposte le trovi nel mio intervento precedente, non saprei cosa aggiungere.

Allora sono solo scemo XD.

Il fatto che non credo di aver capito $RR^k × 0 ≤ RR^n$, cioè mi sembra che voglia dire che se ho uno spazio $RR^n$ lo spazio $RR^k × 0$ ne è sottospazio. Il ragionamento della radice lo capisco se ho n vettori, li identifico con la n-upla tramite isomorfismo coordinato e faccio tutto il ragionamento sul determinante.

Ma cosa accade se ho k vettori? $RR^k × 0 ≤ RR^n$ questo dice che il prodotto cartesiano di Rk con 0 è sottospazio di Rn e quindi? Non ho proprio capito

Hai $k$ vettori $v_1,...,v_k$ linearmente indipendenti, chiamiamo $W$ lo spazio generato da essi. Ovviamente $W$ è un sottospazio di $RR^n$ e $dim(W)=k$. Ora, possiamo scegliere una base ortonormale di $W$, chiamiamola $w_1,...,w_k$, e completare tale base a una base di $RR^n$, chiamiamola $w_1,...,w_k,w_(k+1),...,w_n$. Scrivendo tutto in questa base, e identificando la scrittura $a_1w_1+...+a_nw_n$ con la $n$-upla $(a_1,...,a_n)$, è chiaro che i vettori $v_1,...,v_k$ saranno identificati con particolari $n$-uple tutte del tipo $(a_1,...,a_k,0,...,0)$, cioè elementi di $RR^k xx 0$. In altre parole, a meno di cambiare base, possiamo identificare $W$ con il sottospazio $RR^k xx 0$ di $RR^n$. Questa identificazione è compatibile con il prodotto scalare (cioè il prodotto scalare fatto in $W$ coincide con quello fatto in $RR^k xx 0$ quando passi ai vettori corrispondenti), perché abbiamo scelto una base ortonormale di $W$.

Grazie per la spiegazione chiarificatrice!