Rette in $E^3$

[mau21]

Buon pomeriggio, scusatemi per la domanda, in $E^3$, date due rette sghembe, è possibile trovare l'equazione di una terza retta perpendicolare a entrambe e che intersechi entrambe?
Credo che, per quanto riguarda la giacitura, si possa utilizzare il duale di Hodge, poi andrebbe imposta la condizione di appartenenza ma ho qualche dubbio su come fare, anche perchè i calcoli mi sembrano abbastanza difficili...
Grazie per la disponibilità e buona giornata!

[sellacollesella]

Note le rette \(r,s\) di equazione parametrica: \[
R = R_0 + \mathbf{v}_ru,
\quad \quad \quad
S = S_0 + \mathbf{v}_sv
\] la retta \(t\) per i punti \(R_1,S_1\) ha equazione parametrica: \[
T = R_1 + (S_1-R_1)w
\] e affinché \(t\) sia perpendicolare ad \(r,s\) occorre imporre: \[
\begin{cases}
\mathbf{v}_r \cdot (S_1-R_1) = 0 \\
\mathbf{v}_s \cdot (S_1-R_1) = 0 \\
\end{cases}
\] che nel caso in cui \(r,s\) siano sghembe ha soluzione unica.

Perlomeno questo è ciò che farei in \(\mathbb{R}^3\), in \(E^3\) non ho idea, non lo conosco.

[mau21]

Va bene, grazie mille!

[Brufus]

Perlomeno questo è ciò che farei in \(\mathbb{R}^3\), in \(E^3\) non ho idea, non lo conosco.

Scusa come sarebbe a dire che non conosci $E^3$ sarebbe lo spazio euclideo tridimensionale, lo spazio affine per antonomasia, l'ambiente naturale in cui esistono rette punti e piani. In $\mathbb R^3$ le operazioni da te descritte credo non abbiano neppure senso perché esso viene inteso come spazio vettoriale e la parola retta viene intesa come sottospazio vettoriale , cioè una retta per l'origine.

[sellacollesella]

Scusa come sarebbe a dire che non conosci $E^3$

La mia risposta voleva solo dare l'idea operativa in modo ingenuo, ossia in termini di geometria elementare come è insegnata alle scuole superiori e agli aspiranti ingegneri di cui faccio parte. Sulle dispense scritte dal nostro docente di algebra ha sempre parlato di rette e piani in \(\mathbb{R}^3\), ma suppongo sia solo per noi cerebrolesi. Per questo ho messo in allerta OP nel prendere tutto con le pinze e rielaborarlo con tutti i crismi del caso.

[Brufus]

Quando in $\mathbb R^n$ parli di rette stai implicitamente utilizzando la parola retta come etichetta per un sottospazio vettoriale unidimensionale. Ma se utilizzi la parola retta nell'accezione euclidea del termine ( che poi è quella autentica) allora ti stai riferendo ad un insieme di punti dello spazio euclideo che non ha nulla a che fare con $\mathbb R^n$. Per questo bisogna inventarsi il concetto di spazio affine . Tutta l'ambiguità nasce dall'uso della parola italiana retta che assume sembianze diverse a seconda dei casi. Nelle geometrie non euclidee la parola retta può diventare un arco di circonferenza

Tra l'altro tu stai facendo la sottrazione tra due punti , ma in $\mathbb R^3$ non esistono punti, esistono solo vettori
Mentre tu stai sottraendo due oggetti inesistenti in quell'insieme, poi stai implicitamente dichiarando che quella sottrazione da origine ad un vettore e poi calcoli un prodotto scalare.

[sellacollesella]

Quindi ho trasmutato acqua in vino senza saperlo, dovrò approfondire meglio che la cosa mi interessa.

[j18eos]

Respiriamo con calma, e non mi fate alzare la voce...

Con \(\displaystyle\mathbb{E}^n\) si indica (usualmente) lo spazio vettoriale euclideo su \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con prodotto scalare standard, mentre con \(\displaystyle\mathcal{E}^n\) si indica lo spazio affine euclideo il cui spazio (vettoriale euclideo) direttore è \(\displaystyle\mathbb{E}^n\).

Dal punto di vista insiemistico, questi non sono nè più né meno che \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con strutture extra!

Quindi è "normale" che alcune persone scrivano semplicemente \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) poiché, ripeto, insiemisticamente non ci si muove da lì!

Io, personalmente, mi attengo alle distinzioni di cui sopra; anche per sottolineare che i concetti, ad esempio, di lunghezza ed angolo di vettori necessitano di un prodotto scalare sullo spazio vettoriale; o che la distanza tra punti, retti e piani richiede la struttura di spazio affine euclideo. Mentre il concetto di parallelelismo è insito nella struttura di spazio affine.

[Brufus]

Ma per spazio affine euclideo intendi lo spazio affine numerico ? Lo spazio $\Omega$ della geometria euclidea non ha proprio nulla a che vedere con $\mathbb R^3$ , lo spazio vettoriale sul quale ci si appoggia è quello dei vettori liberi.

[j18eos]

Ma che stai dicendo? Lo spazio dei vettori liberi, per citarti, è uno spazio vettoriale, per giunta isomorfo a \(\mathbb{R}^n\)!