esercizio topologia più grande e più piccola

Capisco le tue motivazioni, le trovo ragionevoli. Grazie per il chiarimento, almeno da ora non prenderò sul personale le tue risposte "aggressive".

Credo di essere a riuscito a risolvere l'esercizio. Prima volevo capire se ho interpretato bene alcuni concetti detti nei messaggi precedenti. La famiglia di insiemi $ {U_j}_{j in J} $ sottoinsieme dell'insieme delle topologie su $X$ sarebbe un sottoinsieme dell'insieme delle parti dell'insieme delle parti di $X$, cioè $ {U_j}_{j in J} sube \mathcal(P)(\mathcal(P) (X)) $, giusto?

Detto questo dimostro che l'intersezione dei $T_i$ è il massimo degli ${U_j}_{j in J}$: dato che $ U_j sube T_i AA i,j $ allora $ U_j sube bigcap_{i in I} T_i AA j in J $ ciò dimostra che $bigcap_{i in I} T_i $ è maggiorante di ${U_j}_{j in J}$; d'altra parte $bigcap_{i in I} T_i sube T_i AA i in I $ quindi $bigcap_{i in I} T_i AA j in J $ appartiene pure alla famiglia degli $U_j$ quindi è anche massimo di ${U_j}_{j in J}$

Analogamente se ho che ${U_j}_{j in J}$ è un sottoinsieme di $mathcal(P)(\mathcal(P) (X)) $ tale che $ T_i sube U_j AA i,j$ allora anche in questo caso $T_i sube bigcap_j U_j AA i in I$ quindi l'intersezione degli $U_j$ appartiene alla famiglia ${U_j}_{j in J}$, d'altra parte $bigcap_j U_j sube U_m AA m in J$ quindi è minimo di ${U_j}_{j in J}$

Semmai l'intersezione sarà il minimo...

nel primo caso l'intersezione dei $T_i$ è il massimo dei ${U_j}_{j in J}$ mentre nel secondo è l'intersezione dei $U_j$ che minimo dei ${U_j}_{j in J}$, mi sembra giusto