Esercizi di topologia

$ f(x)=\{(0, if x \notin Q),(x, if x \in Q) :} $

Dovrebbe essere continua nel solo punto $x=0$ Che ne pensi?

credo di essere di troppo nel topic, ma davvero non riesco a capire perchè è continua solo in $0$, forse perchè è l'unico punto in cui appartiene sia all'insieme che non appartiene ai numeri razionali, sia a quelli di x appartenenti a $Q$?

Perchè $x=0$ è l'unico punto in cui puoi applicare la definizione "$\epsilon$ - $\delta$" di continuità. Prendi invece il punto $x=1$ e supponiamo di voler trovare un intorno $(1-\delta,1+\delta)$ del punto $1$ tale che per ogni punto $x_0$ di questo intorno $|f(1)-f(x_0)|=|1-f(x_0)|<1/2$. Qualunque sia $\delta > 0$ è chiaro che possiamo scegliere $x_0$ irrazionale e quindi avremo $|1-f(x_0)|=|1-0|=1>1/2$, ciò significa che è impossibile trovare un $\delta$ adatto allo scopo. Prova a fare la stessa cosa col punto $0$ e vedrai che invece quadra tutto.

Premetto due risultati (chi volesse divertisi un pò puo dimostrarli)

i) Let $f:A \rightarrow B$ e $g:C \rightarrow D$ be continuous functions. The function $(f xx g):(a,c) \in A xx C \rightarrow (f(a),g(c)) \in B xx D$ is continuous.

ii) Let $Y$ be compact. The projection $\pi: X xx Y \rightarrow X$ is a closed map. [Hint: Tube Lemma ]

Sono alle prese con questo

14) Let $f:X \rightarrow Y$ ; let $Y$ be compact Hausdorff.Then $f$ is continuous if and only if the graph $G_f = {x xx f(x) | x \in X}$ is closed in $X xx Y$ .

Supponiamo $f$ continua. Sia $id:Y \rightarrow Y$ la mappa identica su $Y$. Per il risultato i) la funzione $(f xx id): X xx Y \rightarrow Y^2$ è continua. Siccome $Y$ è Hausdorff la diagonale $diagY={y xx y | y \in Y}$ è chiusa (vedi esercizio $2$ pag 1 di questo topic) e tale è la sua controimmagine $(f xx id)^{-1}(diagY)=\bigcup_{y \in Y} (f^{-1}(y) xx y) = G_f$

Viceversa sia $G_f$ chiuso. Consideriamo un intorno $V$ di $f(x)$, allora $G_{f} \cap (X xx (Y-V))$ è chiuso in $X xx Y$. Poichè $Y$ è compatto tale è anche $(Y-V)$ e la sua intersezione con $G_f$. Allora usando il risultato ii) la proiezione $\pi (G_{f} \cap (X xx (Y-V)))=f^{-1}(Y-V)$ è chiusa in $X$. Pertanto il suo complemento $f^{-1}(V)$ è aperto, quindi $f$ è continua.

Non sono molto convinto, voi che dite?

15) Let $f_n:X \rightarrow R$ be sequence of continuous functions with $f_n(x) \rightarrow f(x)$ for each $x \in X$. Suppose $f$ is continuous, $X$ is compact and $f_n(x) <= f_{n+1}(x)$ for all $n$ and $x$. Show that the convergence is uniform.

Edit: quanto segue è errato. Per una dimostrazione corretta vedi Lemma del Dini
Allora... siccome $X$ è compatto tali sono $f(X)$ e $f_n(X)$ e quindi sono anche chiusi e limitati in $R$. Allora l'insieme ${|f(x)-f_n(x)| | x \in X}$ è limitato (per esempio un suo maggiorante potrebbe essere $s upf(x)-i nff_n(x)$ ). Allora possiede un estremo superiore e siccome $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ipotesi concludiamo che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$.

Anche qui sono poco convinto mi sembra di non aver usato l'ipotesi $f_n(x) <= f_{n+1}(x)$ o forse non me ne sono accorto.

P.S. Ma quanto è brutta la compattezza. La connessione mi piaceva di più, era più facile da "visualizzare"...

Ultima modifica di perplesso il 06/05/2012, 14:55, modificato 1 volta in totale.

16) Let $X$ be an ordered set in the order topology. Suppose every closed interval of $X$ is compact. Show that $X$ has the least upper bound property.

Per assurdo sia $A$ un sottinsieme di $X$ che ammette maggioranti ma che non ha l'estremo superiore. Questo significa che l'insieme dei suoi maggioranti $B={b\in X |b>= a$ $ \forall a \in A }$ non ha il minimo ed equivalentemente $X-B$ non ha il massimo. Scegliamo un punto $a_0 \in (X-B)$ e un punto $b_0 \in B$ e consideriamo l'intervallo chiuso $[a_0,b_0]$. La collezione di insiemi ${(- \infty ,a)|a \in X-B} \cup {(b,+ \infty )|b \in B}$ costituisce un ricoprimento aperto di $[a_0,b_0]$ (mediante aperti di $X$) che evidentemente non ammette sottoricoprimenti finiti. Assurdo perchè $[a_0,b_0]$ per ipotesi è compatto.

Come sempre le correzioni son gradite. Grazie.

...Allora l'insieme ${|f(x)-f_n(x)| | x \in X}$ è limitato...
Anche qui sono poco convinto mi sembra di non aver usato l'ipotesi $f_n(x) <= f_{n+1}(x)$ o forse non me ne sono accorto...

Devi utilizzare esplicitamente ciò che non hai usato!

15)Allora l'insieme ${|f(x)-f_n(x)| | x \in X}$ è limitato (per esempio un suo maggiorante potrebbe essere $s upf(x)-i nff_n(x)$ ). Allora possiede un estremo superiore e siccome $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ipotesi concludiamo che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$.

Controesempio in $RR->RR$:
$f_n(x)=\{(1,x=n),(0, x!=n):}$
Cambiandolo un po' puoi anche mettere l'insieme di partenza compatto e le funzioni continue.

Ho capito quello che dici, per esempio potrei restringere la tua funzione a $[0,1]$ e modificarla come in figura per renderla continua.



In questo caso la convergenza non è uniforme perchè al crescere di $n$ rimane sempre una "gobba". Questo perchè viene meno il requisito $f_n(x)<=f_{n+1}(x)$. Il problema è che non so bene come formalizzare... ci provo ditemi se va bene:

Da $f_n(x)<=f_{n+1}(x)$ segue $|f(x)-f_n(x)|>=|f(x)-f_{n+1}(x)|$ e quindi $s up_{x \in X}|f(x)-f_n(x)|>= s up_{x \in X}|f(x)-f_{n+1}(x)|$ e questo è sufficiente ad affermare che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$ ??

Grazie per la vostra pazienza!

No, non è sufficiente!

Così ottieni una successione decrescente, in particolare puoi affermare che: \[\lim_n\sup_X\{f(x)-f_n(x)\in\mathbb{R}_+:x\in X\}=\exists;\] dopo di ciò io affermo che tale limite è finito, mi sai dire il perché?
Poi procederei per assurdo supponendo che il limite è strettamente positivo!

dopo di ciò io affermo che tale limite è finito, mi sai dire il perché?

Beh scusa ma se $f(X)$ e $f_n(X)$ (come ho detto prima) sono limitati (in particolare anche inferiormente) come potrebbero quelle differenze tendere all'infinto?