Dimostrazione direzione di discesa Moré/Sorensen

Buongiorno a tutti,

ho alcune difficoltà a comprendere la dimostrazione del Lemma 2.2 nell'articolo "Direzioni di curvatura negativa" di J.J. Moré e D.C. Sorensen. In seguito riporto il lemma e la dimostrazione, e quindi indicherò di quali punti non riesco a comprendere i passaggi.

"Sia $Phi: R rightarrow R$ continuamente differenziabile due volte nell'intervallo aperto I che contiene l'origine, e sia $mu in (0,1)$. Allora esiste un valore $bar{alpha}$ in I tale per cui vale $\Phi(\alpha)\leq \Phi(0) +\mu[\Phi'(0)\alpha +\frac{1}{2} \Phi''(0)\alpha^2]$

per ogni $alpha in [0,\bar{alpha}]$, fintanto che o $Phi'(0)<0$ oppure $\Phi'(0)=0$ e $\Phi''(0)<0$.


La dimostrazione si articola in pochi passaggi:

Per il teorema del valor medio si ha che per ogni $alpha>0$ esiste $theta in (0,alpha)$ tale per cui
$$\Phi(\alpha)=\Phi(0) +\Phi'(0)\alpha +\frac{1}{2} \Phi''(0)\alpha^2 +\frac{1}{2} [\Phi''(\theta)-\Phi''(0)]\alpha^2.$$

Da cui si ottiene
$$\Phi(\alpha)=\Phi(0) +\mu[\Phi'(0)\alpha +\frac{1}{2} \Phi''(0)\alpha^2]+r(\alpha)$$

dove $$r(\alpha)=(1-\mu)[\Phi'(0)\alpha +\frac{1}{2}\Phi''(0)\alpha^2] + \frac{1}{2}[\Phi''(\theta)-\Phi''(0)]\alpha^2.$$

Sapendo che $$\lim_{\alpha \rightarrow 0^+}r(\alpha)/\alpha^2 < 0$$

allora esiste $\bar{alpha}>0$ tale per cui $r(alpha)<0$ per ogni $alpha in [0,\bar{alpha}]$

Innanzitutto, non riesco a capire come costruisce la formula di $Phi(\alpha)$ dal teorema del valore medio. Io posso pensare che $$(\Phi(\alpha)-\Phi(0))/\alpha = \Phi'(\theta)$$ ma poi non saprei proprio come continuare per arrivare alla formula ottenuta che considera la derivata seconda.
Secondo, non riesco a capire una cosa: suppongo il limite $\lim_{\alpha \rightarrow 0^+}r(\alpha)/\alpha^2 < 0$ richieda che $r(alpha)$ sia negativo. Ma come è possibile? Nel caso in cui io ho che la derivata prima di Phi sia pari a 0, io non ho condizioni sulla derivata seconda, non posso stabilire il segno. E anche nel secondo caso in cui la derivata prima in 0 sia 0 e la derivata seconda in 0 sia negativa, non ho condizioni sulla derivata seconda in $theta$.

Ho impiegato mezz'ora circa per scrivere l'intero messaggio qualsiasi aiuto è ben accetto! Ringrazio in anticipo.

È la formula di Taylor con il resto del Lagrangia: hai che una \( f\colon [0,\alpha]\to \mathbb R \) derivabile due volte si scrive come
\[
f(\alpha) = f(0) + f^\prime(0)\alpha + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(\theta)\alpha^2
\] per un qualche \( 0 < \theta < \alpha \). Tu hai scritto
\[
f(\alpha) = f(0) + f^\prime(0)\alpha + \frac12 f^{\prime\prime}({\color{red} 0})\alpha^2 + \frac12 (f^{\prime\prime}(\theta) - f^{\prime\prime}(0))\alpha^2
\] ma occhio che \( \frac12 f^{\prime\prime}(0)\alpha^2 \) si cancella.

Riguardo al resto: non l'ho letto, ma occhio che nell'articolo originale (perché hai tradotto il titolo??) quel limite con la sbarretta sopra potrebbe essere un \( \limsup \).