Esercizio in Matlab su sistemi lineari e fattorizzazione

[feddy]

Un altro esercizio che non riesco a risolvere.





Il codice:

Codice:

n=18;

A1=6*ones(n,1);    %vettori per la creazione di A
A2=3*ones(n-1,1);
A3=6*ones(n-1,1);

    A=diag(A1)+diag(A2,1)+diag(A3,-1); %creo A
   
    b=linspace(5,8,n);

    tic %calcolo costo computazionale  LUP
    [L,U,P]= lu(A);
    y=L\(P*b');
    x=U\y;
   
    t1=toc

    tic %calcolo costo computazionale  QR
    [Q,R]=qr(A);
    x=R\(Q*b');
   
    t2=toc

Non riesco ad arrivare al risultato, ma prima ancora mi rendo conto di avere dei valori stranissimi derivanti sicuramente a qualche errore nel codice. Riuscite ad aiutarmi a correggerlo? Grazie!

Ultima modifica di feddy il 08/07/2022, 22:03, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemato titolo

Ciao Alessio,

le prossime volte inserisci il codice tra gli appositi tag, come ho fatto io nel tuo post, che ora risulta modificato. Aiuta la lettura.

Non hai calcolato gli autovalori. Se questi sono positivi, allora puoi applicare la fattorizzazione di Cholesky, in quanto la matrice è SPD (simmetrica e definita positiva). Il fatto che sia simmetrica è evidente da come è definita A.

Qualora non fosse SPD, allora va usato un altro metodo.

Il codice che hai scritto è molto breve, l'errore lo puoi trovare in pochissimo tempo. Inizia intanto a verificare che la tua incognita *risolva* il sistema lineare, cioè che $Ax-b$ sia piccolo in una qualche norma...

Siccome a quest'ora non ho nulla da fare...

Errori:
1) La matrice $A$ che hai creato non è quella richiesta. In particolare, la tua non è nemmeno simmetrica. Infatti,

Codice:

A3

deve essere moltiplicata per $3$, invece che per $6$.

A dire il vero, non ti serve nemmeno definire

Codice:

A3

come variabile, perché è uguale alla diagonale sopra. Dunque, ti basta un solo vettore per le sopra e sotto diagonali.

2) La tua risoluzione con LU è corretta, ma la QR no. Dalla teoria sai che $x=R^{-1}(Q^t b)$, ma nel tuo codice tu stai usando $Q$, non $Q^t$. Basta aggiungere un apice e risulta corretto.

3) Devi calcolare gli autovalori, notare che sono tutti positivi e, siccome la matrice è anche simmetrica, utilizzare l'algoritmo di Cholesky per fattorizzare $A$ in $A=R^tR$. Questi sono due sistemi triangolari, proprio quelli richiesti dall'esercizio.





Di seguito l'esercizio corretto: ho definito

Codice:

b

direttamente come vettore colonna, per evitare il trasposto. Ho corretto la risoluzione con $QR$, che di fatto non era richiesta, e aggiunto la parte che mancava riguardo agli autovalori.

Codice:

n=18;
d=6*ones(n,1);    %vettori per la creazione di A
sd=3*ones(n-1,1);
A=diag(d)+diag(sd,1)+diag(sd,-1); %creo A
b=linspace(5,8,n)';

tic %calcolo costo computazionale  LUP
[L,U,P]= lu(A);
y=L\(P*b);
x=U\y;
toc

tic %calcolo costo computazionale  QR
[Q,R]=qr(A);
x=R\(Q'*b);
toc

% Autovalori
eig(A)>0 %risulta un vettore di 1, cioè true, dunque la matrice è definita positiva

% Poichè sappiamo quindi che A è simmetrica e definita positiva, allora possiamo utilizzare
% tranquillamente la decomposizione di Cholesky:
tic
R = chol(A);
y = R'\b;
x = R\y;
toc

norm(x+y,1)


Ciao! Ho visto che hai risposto a tutti i post che ho scritto e inizio ringraziandoti per la correzione e ancora più per avermi spiegato gli errori.
Prendo inoltre i consigli per scrivere i futuri post nel modo migliore!

Prego!