Definizione di metodo numerico e metodo analitico

Buonasera, ho iniziato da poco a studiare analisi numerica, ci sono due concetti che non mi sono molto chiari:
-) Metodo numerico
-) Metodo analitico.

Ora, da quello che ho potuto capire, mi verrabbe da dire:

Sia un problema P,
un metodo numerico è un metodo che permette di determinare una soluzione in forma numerica, supponendo che essa esiste, del problema P
un metodo analitico è un metodo che permette di determinare l'esistenza di una sua soluzione, e eventualmente, fornendo una metodo per il calcolo della stessa, del problema P.

Va bene come interpretazione?

Esempio: Verificare che di $P(x)=x^2+bx+c=0$ con $b,c in RR$ e $b^2>c$.

Metodo numerico: $x_(1,2)=frac{-b pm sqrt(b^2-4c)}{2}$
Metodo analitico: Suppore per assurdo che non esistono soluzioni. Il polinomio è una funzione continua, quindi, per ogni $x in RR$ si ha per ipotesi assurda che $P(x)<0$ oppure $P(x)>0$.
Dall'altra parte $P(-b)=-b^2+c<0$, invece, prendendo $x$ abbastaza grande e positivo $P(x)>0$, allora per il teorema degli zeri si ha l'esistenza di uno zero in $(-b,x)$. Assurdo.
Quindi, la soluzione esiste.

Va bene come esempio per distinguere i due metodi?

Ciao

Va bene come esempio per distinguere i due metodi?

Non è il mio settore ma io direi che per le equazioni di secondo grado esiste una soluzione che chiamerei analitica, ma per $x^5-x-1 =0 $ devi trovare le soluzioni numericamente.

Va bene come esempio per distinguere i due metodi?

Non direi.

Un metodo analitico è un metodo che permette di esprimere una certa soluzione in formule chiuse.
La soluzione di una equazione di secondo grado con quella formula che hai scritto è quindi una soluzione analitica.

Un metodo numerico consiste invece nel trovare una soluzione approssimandosi ad essa per iterazioni successive, ma senza fornire una formula chiusa per conseguire la soluzione.
Ad esempio il metodo delle tangenti è un metodo numerico per trovare uno zero di una equazione qualunque.

Secondo me anche la mia soluzione a https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=226800 è numerica.

Aggiungo un altro esempio, che di fatto si aggiunge a quanto ha gia' detto correttamente @ghira.

Ci sono (sistemi di) equazioni differenziali ordinarie di cui sappiamo esplicitamente la soluzione, ad esempio $x' = Ax, x(0)=1$, dove $A$ e' una matrice. La soluzione analitica e' $x(t)=e^{At}x_0$. Perche' utilizzare un metodo numerico per avere quel vettore soluzione? I primi due motivi che mi vengono in mente:
1) $A$ in genere e' una matrice molto grande, se ci serve in qualche applicazione (e questo capita), vogliamo esplicitamente quel vettore
2) il calcolo dell'esponenziale non e' per nulla banale, salvo casi speciali. Infatti, ci sono tecniche ad-hoc per questo.

Diciamo che un metodo numerico lo si puo' (e spesso lo si deve) usare anche quando c'e' una soluzione analitica del tuo problema. Nel primo capitolo di ogni libro di numerica si parla della differenza tra i due approcci. Mi viene in mente Matematica Numerica di Quarteroni,Sacco,Saleri,Gervasio.

Una soluzione analitica risolve un problema nella sua generalità a prescindere dal caso numerico particolare. Quindi sono d'accordo con @Faussone che la formula di risoluzione dell'equazione di secondo grado in termini di a, b, c è analitica perché i coefficienti sono generici.
Una soluzione numerica invece si focalizza su un determinato caso numerico e risolve quel caso.

In generale la soluzione analitica, soprattutto se in forma chiusa e proprio perché soluzione a livello astratto e generale, permette una maggiore comprensione del problema.
Ad esempio l'inserimento dello studio delle equazioni di Navier-Stokes nei problemi per il millennio
https://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_per_il_millennio
deriva proprio da questo motivo e non certo perchè manchi una soluzione numerica delle stesse assegnati i valori numerici dei coefficienti e delle condizioni al contorno.

Quanto sopra non vuol dire che la soluzione numerica non possa comunque servire a risolvere un problema teorico generale. Un caso famoso è quello del teorema dei 4 colori.
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... o%20colore.

E ovviamente sono d'accordo che in certi casi, piuttosto che usare una complicatissima formula risolutiva, è nettamente preferibile una soluzione numerica.
Prendendo l'esempio di @ghira sulle equazioni di quinto grado, in effetti esistono delle formule risolutive per alcune classi di equazioni (termine di quinto grado, lineare e costante)
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quinto_grado
ma credo che ben difficilmente qualcuno le utilizzi realmente in un problema pratico.

in effetti esistono delle formule risolutive per alcune classi di equazioni (termine di quinto grado, lineare e costante)
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quinto_grado

Questo non lo sapevo! Grazie.

ma credo che ben difficilmente qualcuno le utilizzi realmente in un problema pratico.

Qualcuno usa davvero le formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado?

Qualcuno usa davvero le formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado?

Eh mai dire mai
In effetti mi è capitato di dover utilizzare la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado per calcolare il volume specifico di un gas generico partendo dall'equazione di stato di Redlich-Kwong, perchè l'ambiente di calcolo accettava solo formule esplicite e non era possibile inserire formule ricorsive.

Insomma ogni tanto può succedere di dover ringraziare Cardano e Tartaglia.

solo formule esplicite e non era possibile inserire formule ricorsive.

Pura curiosità: immagino intendessi che non era possibile usare cicli for/while, giusto? Non serve usare algoritmi ricorsivi per trovare radici.

@feddy

Scusa visto solo adesso. Si, non era possibile usare cicli for/while.

Per quello che riguarda le radici, sono d'accordo che non è strettamente necessario usare i cicli ricorsivi.

In alcuni casi basta calcolare le radici e stop, in altri casi ho evitato il ciclo banalmente calcolando le soluzioni al variare di un parametro e inserendo delle tabelle o delle regressioni polinomiali delle stesse, oppure nei casi più complessi scrivendo qualche formula di approssimazione numerica (tipo Newton) arrestata al secondo o terzo passo.
Però nel caso in questione visto che esiste una formula esatta perchè non utilizzarla?
Anche perchè l'equazione in questione ha 2 parametri variabili con il tipo di gas.