Prodotto continuo ... facile facile, epperò ...

Consideriamo il prodotto infinito seguente:
$p=3/1·5/7·11/9·13/15·19/17· ...=1(3·5)/(1·7)·(11·13)/(9·15)·(19·21)/(17·23)·...=3(5·11)/(7·9)·(13·19)/(15·17)·(21·27)/(23·25)·...$
L'ho scritto associando i fattori in tre modi diversi per evidenziare che lo posso trattare come successione di razionali in almeno tre modi.

1° modo. Successione oscillante
Ro = 1; per ogni n naturale: se n è pari allora Rn+1 = Rn ·$(4n+3)/(4n+1)$ altrimenti Rn+1 = Rn·$(4n+1)/(4n+3)$;
p = limite, per n ––> ∞, di Rn.

2° modo: Successione crescente
Ao = 1; per ogni n naturale An+1 =$[(8n+3)(8n+5)]/[(8n+1)(8n+7)$·An = $[(8n+4)^2-1]/[(8n+4)^2-9]$·An.

3° modo. Successione decrescente
Bo = 3; per ogni n naturale Bn+1 =$[(8n+5)(8n+11)]/[(8n+7)(8n+9)$·Bn = $[(8n+8)^2-9]/[(8n+8)^2-1]$·Bn..

Le successioni ${An}$ e ${Bn}$ costituiscono una coppia di classi contigue [di razionali] poiché
• la successione ${An}$ è crescente e la successione ${Bn}$ è decrescente;
• per ogni n naturale $An < Bn$;
• la differenza $Bn - An$ tende a 0 al tendere di n all'infinito.
Ciò assicura che questo prodotto continuo converge [al reale che è l'elemento di separazione delle due classi contigue].

E' quasi banale verificare sperimentalmente che il limite è √(2) + 1 ≈ 2,414213562373..
Ma per quanto io ne sappia, la dimostrazione teorica di ciò è piuttosto laboriosa.

Ogni tanto mi domando se non c'è una via più semplice [di dimostrare quel limite] di quella che conosco io.
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Ho 'postato' altrove altre volte questo quiz.
E molto prima che esistesse Internet ho interpellato [invano] qualche amico ... matematico professionale.

Questo prodotto continuo mi è saltato fuori moltissimi anni fa come sottoprodotto di un altro lavoro [di matematica applicata alle telecomunicazioni].
In base a quanto stavo macinando per altro scopo, doveva convergere a √(2) + 1.
Mi son chiesto allora se non c'era una via più semplice per dimostrare che il limite di quel prodotto continuo era prorio √(2) + 1.
Gli amici matematici ... non hanno trovato sufficiente interesse al mio quesito.
E i 'post' dove altre volte l'ho ripetuto sono rimasti senza risposta.

Vediamo se questa volta qualcuno trova interesse a questa questione.
______

Ultima modifica di Erasmus_First il 22/03/2015, 23:18, modificato 2 volte in totale.

A quanto pare, nemmeno qui c'è interesse a questa questione.

Ma forse è troppo presto per dirlo. Non si sa mai!
Che bello se fossi smentito!

Mi sforzo allora d'essere ottimista.
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La dimostrazione del limite del prodotto continuo oggetto di questo thread si può ricavare dall'uguaglianza seguente:

A sinistra c'è una "sequenza di funzioni impulsive" tutte uquali, che si ripetono ad intervalli regolari lunghi π, dando luogo ad una funzione periodica di periodo π.
A destra c'è lo sviluppo in serie di Fourier di questa funzione periodica.

Ritengo molto interessante questo particolare sviluppo in serie di Fourier (d'una funzione periodica tutta speciale ... e fondamentale nella "Teoria matematica delle comunicazioni [elettriche]", almeno ai tempi di Shannon (che erano anche i miei tempi, epoca della trasmissione anaologica, V. ––>Teorema di Nyquist-Shannon) .
------------
Uso (per la prima volta) lo "spoiler".
Non si sa mai!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La spiegazione di come si perviene a questa uguaglianza sta nel paper seguente [in formato immagine PNG)]:

–––> Discussione (PNG)

Accettata l'uguaglianza di sopra, come da essa si perviene alla dimostrazione del limite del prodotto continuo oggetto di questo thread sta in quest'altro paper:

–––> Un prodotto continuo speciale (PNG)

Ciao ciao

Ultima modifica di Erasmus_First il 21/12/2014, 03:27, modificato 2 volte in totale.

Non prendere a male questo OT, ci mancherebbe, non è il mio obiettivo.

A quanto pare, nemmeno qui c'è interesse a questa questione.

Hai postato nella sezione dedicata allo spremimento di meningi per la secondaria superiore: era senz'altro più adatta per la sezione "pensare un po' di più" che era lo spremimento di meningi per l'università.
Suppongo che interverrà un moderatore a traslare questo thread nella sezione adatta.

Per il resto, io mi tiro fuori, ci ho provato ma l'università è lontana (nei miei ricordi) e non sono andato molto lontano.

Hai postato nella sezione dedicata allo spremimento di meningi per la secondaria superiore: era senz'altro più adatta per la sezione "pensare un po' di più" che era lo spremimento di meningi per l'università.
Suppongo che interverrà un moderatore a traslare questo thread nella sezione adatta.

Son qui da poco e ho preso visione di questa sola sezione. Sono arrivato dopo che un altro iscritto ha proposto, in altro forum, un problemino ripreso da qua (che mi pareva un po' più arduo i quelli a livello di scuola "secodaria"). Accetto, però, la tua ... "critica" osservazione.
Osservo tuttavia a mia volta che non sono l'unico ad uscire dall'ambito della "scuola secondaria".
[Hai letto qualche argomento di quelli 'postati' da ciromario o da Pachisi? Per esempio, a quale numero converge la serie di addendi (n^k)/(2^n) per n da 1 a infinito e per k intero positivo].
Continuo a sperare che i professoroni di matematica che frequentano la sezione che dici tu leggano anche qua .

Grazie comunque dell'attenzione a questo argomento presentato da me.

Ciao ciao.

Mi spiace che te la sei presa.

in altro forum, un problemino ripreso da qua (che mi pareva un po' più arduo i quelli a livello di scuola "secodaria"). Accetto, però, la tua ... "critica" osservazione.

Io sono rimasto a qualche annetto fa, quando nella secondaria non si facevano serie e altro, però vedevo che non rispondeva nessuno e che comunque il problema non mi sembrava banale - a meno che non è di quelli che lo diventano dopo un passaggio ben congeniato.

Osservo tuttavia a mia volta che non sono l'unico ad uscire dall'ambito della "scuola secondaria".
[Hai letto qualche argomento di quelli 'postati' da ciromario o da Pachisi? Per esempio, a quale numero converge la serie di addendi (n^k)/(2^n) per n da 1 a infinito e per k intero positivo].

I know, ma infatti in questa sezione si va oltre le secondarie, ma pur sempre restando con le conoscenze delle secondarie.
Ciromario posta al 90% problemi di geometria, di quelli a portata comunque delle secondarie (difficili pure quelli, per me almeno). Pachisi solo una volta ho avuto il piacere di (riuscire a) rispondere a un suo quesito, quindi non saprei.

Continuo a sperare che i professoroni di matematica che frequentano la sezione che dici tu leggano anche qua .
Grazie comunque dell'attenzione a questo argomento presentato da me.
Ciao ciao.

Te l'ho detto, non volevo farti arrabbiare.
Ciao a te e buon resto di domenica.

Non avevo letto attentamente, certo che Fourier da queste parti è eccessivo, trasferisco la discussione nell'area universitaria.

Non prenderla come una critica, ma quest'area è dedicata a problemi risolvibili con le conoscenze della scuola superiore, anche se gli esercizi richiedono buone competenze. Quindi no ad esercizi standard, ma neppure esercizi che richiedano conoscenze extra scuola superiore.

Il prodotto non converge incondizionatamente, per questo succedono cose "strane".

Come noto, un prodotto infinito:
\[
\prod_{n=0}^\infty p_n
\]
di fattori positivi non è altro che il limite, se esiste ed è diverso da zero, della successione di prodotti parziali:
\[
P_N:=\prod_{n=0}^N p_n\; ;
\]
la convergenza/divergenza di $P_N$ è di fatto equivalente alla convergenza/divergenza della successione di termine generale:
\[
S_N=\log P_N = \sum_{n=0}^N\log p_n
\]
che è la successione delle ridotte della serie:
\[
\sum_{n=0}^\infty \log p_n\; .
\]
In parole povere, tutte le proprietà di convergenza della serie \(\sum_{n=0}^\infty \log p_n\) passano al prodotto \(\prod_{n=0}^\infty p_n\); in particolare, se \(\sum_{n=0}^\infty \log p_n\) converge assolutamente allora vale la proprietà commutativa in grande: dunque, comunque fissi una permutazione di indici \(\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}\), hai:
\[
\sum_{n=0}^\infty \log p_n = S = \sum_{n=0}^\infty \log p_{\sigma(n)}
\]
onde per cui:
\[
\prod_{n=0}^\infty p_n =P = \prod_{n=0}^\infty p_{\sigma (n)}\; ,
\]
ossia anche il prodotto gode della proprietà commutativa in grande e lo si può calcolare riordinando in maniera arbitraria i fattori.
Analogamente, se la serie dei logaritmi è assolutamente convergente, allora vale la proprietà associativa in grande: ciò vuol dire che presa una qualsiasi funzione \(\theta :\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) strettamente crescente, vale l'uguaglianza:
\[
\sum_{n=0}^\infty \log p_n = S=\sum_{k=0}^\infty \left( \sum_{n=\theta (k)}^{\theta (k+1)-1} \log p_n\right)\; ,
\]
ed ovviamente tale uguaglianza si traduce nella possibilità di calcolare il valore del prodotto infinito associando arbitrariamente i suoi fattori (ed ottenendo sempre lo stesso risultato), i.e.:
\[
\prod_{n=0}^\infty p_n = P=\prod_{k=0}^\infty \left( \prod_{n=\theta (k)}^{\theta (k+1)-1} p_n\right)\; .
\]
Mettendo insieme le proprietà commutativa ed associativa in grande vedi che, quando la serie dei logaritmi è assolutamente convergente, è possibile calcolare il prodotto infinito riordinandone ed associandone i fattori come meglio credi.

Tuttavia, le proprietà commutativa ed associativa in grande vanno probabilmente perse quando la serie dei logaritmi non è assolutamente convergente... E per l'appunto ciò è quel che accade nel caso che proponi, in quanto la serie dei logaritmi è:
\[
\sum_{n=0}^\infty \log \frac{4n+2+(-1)^n}{4n+2-(-1)^n} = \sum_{n=0}^\infty \log \left( 1 + (-1)^n\ \frac{2}{4n+2-(-1)^n}\right)
\]
e si vede che essa non può convergere assolutamente, poiché ha gli addendi che in valore assoluto tendono a zero come quelli di una serie armonica.

Per quel che riguarda il valore numerico del prodotto infinito, la dimostrazione che usa Fourier (e che non ho ben capito quale sia, dato che non vedo dimostrazioni nel tuo post precedente) è certamente lecita e non so se ne esistano di più elementari.

Mi spiace che te la sei presa.

???
Rallegrati! NON ME LA SONO PRESA AFFATTO!
Ho solo cercato di far capire come mai sono andato oltre il livello di questa sezione. E spiegare il come mai non vuol dire nemmeno giustificarsi
Ecco: tornando qua pensavo di trovare (giustamente) il mio thread spostato in altra sezione (quella che dicevi tu; e un moderatore – o moderatrice? – prometteva di spostare davvero il thread): e invece me lo ritrovo ancora qua!

Per quel che riguarda il valore numerico del prodotto infinito, la dimostrazione che usa Fourier (e che non ho ben capito quale sia, dato che non vedo dimostrazioni nel tuo post precedente) ...

Ma come? Ho saritto, tra l'altro: «Uso per la prima volta lo "spoiler"». Ho nascosto dunque i link a due documenti. Nel primo viene dimostrata l'uguaglianza scritta in grande nel mio secondo 'post' [––>http://s10.postimg.org/raulsnjuh/Formula.png]. Il secondo documento dimostra il limite deducendolo dalla detta uguaglianza.
Ho nascosto i link per lasciare ai lettori la possibilità di ... s–cervellarsi pure loro in entrambi i casi: a) Dimostrare l'uguaglianza; b) dedurre da quella il limite del prodotto continuo. [In entrambi i casi c'è das-cervellarsi un bel po'].
Guarda un po' qua:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La spiegazione di come si perviene a questa uguaglianza sta nel paper seguente [in formato immagine PNG)]:

–––> Discussione (PNG)

Accettata l'uguaglianza di sopra, come da essa si perviene alla dimostrazione del limite del prodotto continuo oggetto di questo thread sta in quest'altro paper:

–––> Un prodotto continuo speciale (PNG)

Ma tu ... hai letto quel che ho scritto?
Nel leggere il tuo lungo 'post' a me parrebbe di no!
[Per esempio: la dimostrazione della convergenza del prodotto continuo ci sta espressamente: il limite è mostrato essere l'elemento separatore di due classi contigue. Dimostrazione, per altro, superflua, dato che si può vedere anche come successione oscillante con oscillazioni decrescenti di ampiezza decresc ente al crescere dell'indice).
Giustisimo il passare dal prodotto continuo alla serie dei logaritmi dei fattori. Sbagliata invece l'idea che il carattere di tale serie sia quello della serie armonica (la quale non converge anche se ha gli addendi infinitesimi al crescere dell'indice ... perché sono tutti dello stesso segno). Il carattere della serie dei logaritmi dei fattori–frazione – rapporti tra due dispari prossimi, frazioni irriducibili dunque – è piuttosto quello della serie che converge al logaritmo naturale di 2. (Addendi a segno alterno).
––––––––––
Ciao a tutti gli intervenuti (che ringrazio vivamente).
Auguri natalizi a chiunque passa di qua!
––––––––

Ecco: tornando qua pensavo di trovare (giustamente) il mio thread spostato in altra sezione (quella che dicevi tu; e un moderatore – o moderatrice? – prometteva di spostare davvero il thread): e invece me lo ritrovo ancora qua!

L'ha spostato, l'ha spostato ma non te ne sei accorto ...
Nella sezione vecchia rimane il link per evitare "sorprese" al proponente ...

Cordialmente, Alex

Sbagliata invece l'idea che il carattere di tale serie sia quello della serie armonica (la quale non converge anche se ha gli addendi infinitesimi al crescere dell'indice ... perché sono tutti dello stesso segno). Il carattere della serie dei logaritmi dei fattori–frazione – rapporti tra due dispari prossimi, frazioni irriducibili dunque – è piuttosto quello della serie che converge al logaritmo naturale di 2. (Addendi a segno alterno).

Non è sbagliata l'idea, sei tu che non hai letto attentamente:

E per l'appunto ciò è quel che accade nel caso che proponi, in quanto la serie dei logaritmi è:
[...] e si vede che essa non può convergere assolutamente, poiché ha gli addendi che in valore assoluto tendono a zero come quelli di una serie armonica.

(il grassetto è mio). Aggiungo, poi, che sarebbe meglio scrivere le formule direttamente qui sul forum utilizzando il sistema apposito, anziché mettere link esterni a "paper" (cfr. regolamento 3.6).
Grazie per la collaborazione.